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Propriété Universelle du produit direct de groupes

Posté par Zoe- (invité) 20-05-05 à 19:46

Bonsoir vous tou(te)s

Voilà, j'ai repris un peu mes livres d'algèbre et je suis tombée sur une notion qui m'a toujours semblé obscure : la propriété universelle.

Voici la chose pour le produit direct de groupes :
Soient G_1 et G_2 deux groupes,
p_i  les projections canoniques de G_1\times G_2 sur G_i, i\in\{\1,2\}.
Pour tout groupe G et tout morphisme de groupes f_i:G\to G_i, i\in\{1,2\},
il existe un unique morphisme de groupes h:G\to G_1\times G_2 tel que
       p_i\circ h=f_i, i\in\{1,2\}.

A quoi cela sert-il ? Quel en est le sens ? Caractérise-t-il quelque chose ?


Merci d'avance pour vos réponses, Zoe-

Posté par tutu (invité)re : Propriété Universelle du produit direct de groupes 20-05-05 à 21:45

Salut,


C'est juste une façon un peu compliquée de dire que h(x) = (f1(x),f2(x)) est bien défini et ce de manière unique.

Posté par taorendestiny (invité)re : propriété universelle 27-05-05 à 20:58

la notion de propriété universelle est très importante - elle provient de la théorie des catégories. Elle permet d'énoncer et de comprendre "de façon synthétique" un certain nombre de résultats, en particulier en algèbre et en géométrie différentielle. Dans le cas présent, G1 x G2 est un objet universel, au sens où pour tous morphismes f1 : C -> G1 et
f2 : C -> G2, il existe un morphisme f permettant de factoriser les deux morphismes, et rendant le diagramme suivant commutatif :
                       --------C-------
                       |       |       |
                       f1      f      f2
                       |       |       |
                       G1 <- G1xG2 -> G2
La théorie des catégories, c'est beaucoup de diagrammes comme ça et ça simplifie un peu la vie. Je ne peux que vous conseiller l'ouvrage de Serge Lang Algebra (qui a même été traduit en français), c'est très bien expliqué dedans.





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