Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première Produit scalaireTopics traitant de Produit scalaire [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Propriétés du produit scalaire

Posté par
luna20 16-04-17 à 20:37

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice:

ABC est un triangle, I est le milieu du côté [BC].
On suppose que  BC = 8 et IA = 5. Calculer  vec AB . vec AC.

Et je n'arrive pas a trouver sans connaitre au moins un autre côté mais je ne vois pas comment faire pour en trouvée un...

Posté par
ClayVerre : Propriétés du produit scalaire 16-04-17 à 20:45

Bonjour,

Comment peux-tu écrire les vecteurs en faisant apparaître le point I ?

Posté par
verdurinre : Propriétés du produit scalaire 16-04-17 à 20:47

Bonsoir,
\vec{AB}=\vec{AI}+\vec{IB} \\ \vec{AC}=\vec{AI}+\vec{IC}

donc

\vec{AB}\cdot \vec{AC}=\bigl(\vec{AI}+\vec{IB}\bigr)\cdot \bigl(\vec{AI}+\vec{IC}\bigr)

Posté par
luna20re : Propriétés du produit scalaire 16-04-17 à 22:53

j'avais déjà fais apparaître le point I
j'ai fait l'expression avec les normes :
1/2 [ || AI + IB || ² - || AI ||² - || IB || ² ] . 1/2 [ || AI + IC || ² - || AI ||² - || IC || ² ]
sauf que là quand on applique Chasles
nous avons
AI + IB = AB et AI + IC = AC
et on ne connais pas AB et AC ... je pense qu'il doit avoir un autre moyen pour faire ce calcul mais je ne vois pas lequel ...

Posté par
luna20re : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 11:36

Je viens de voir que j'avais fait une erreur
AB.AC = (AI + IB) . (AI +IC)
=1/2 [  || AI + IB + AI + IC ||²  -  || AI + IB || ²  -  || AI + IC ||² ]
=1/2 [  ||2 AI + 2 IB||²  -  AB ²  -  AC ² ]
=1/2 [  ( 2 x (-5) + 2 x 4 )²  -  AB ²  -  AC ² ]
=1/2 [  ( -10 + 8 )²  -  AB ²  -  AC ² ]
=1/2 [  4  -  AB ²  -  AC ² ]
Mais la je ne sais pas comment faire avec AB et AC ...

Posté par
Priamre : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 11:56

Tu ferais mieux de développer l'expression de droite de la première ligne de ton calcul, puis d'examiner et de simplifier le résultat.

Posté par
luna20re : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 14:33

AB . AC = ( AI + IB ) . ( AI + IC )
=AI ² + AI . IC + IB .  AI + IB . IC
sauf que si j'applique la propriété avec les normes je me retourve encore avec AC et BA... comment faire ?

Posté par
ClayVerre : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 14:42

Ça serait bien que tu écrives quand il s'agit de vecteurs ou bien de distances, sinon on ne comprend pas grand chose et on pourrait penser que tu fais des choses illicites comme par exemple prendre un vecteur au carré Et tu n'as pas utilisé le fait que I est milieu de [BC], ce qui aide grandement ici !

Posté par
luna20re : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 14:51

Je n'arrive pas a mettre les flèches sur les  vecteurs ...
Et je ne vois pas comment on pourrais utiliser le milieu de BC alors que pour l'instant ce qui me gène c'est AC et AB

Posté par
ClayVerre : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 15:10

\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{AC}} = (\vec{\mathrm{AI}} + \vec{\mathrm{IB}}) \cdot (\vec{\mathrm{AI}} + \vec{\mathrm{IC}})
Donc tu n'as plus de problèmes avec \vec{\mathrm{AB}} et \vec{\mathrm{AC}}...

En développant :

(\vec{\mathrm{AI}} + \vec{\mathrm{IB}}) \cdot (\vec{\mathrm{AI}} + \vec{\mathrm{IC}}) = \vec{\mathrm{AI}} \cdot \vec{\mathrm{AI}} + \vec{\mathrm{AI}} \cdot \vec{\mathrm{IC}} + \vec{\mathrm{IB}} \cdot \vec{\mathrm{AI}} + \vec{\mathrm{IB}} \cdot \vec{\mathrm{IC}}

Maintenant, quelle relation peux-tu en déduire entre les vecteurs \vec{\mathrm{IB}} et \vec{\mathrm{IC}} sachant que \mathrm{I} est milieu de [\mathrm{B}\mathrm{C}] ? Et au passage, pour tout vecteur \vec{u}, on a \vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2.

Avec toutes ces indications, tu devrais trouver sans problèmes

Posté par
luna20re : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 15:35

vec IB = vec -CI mais quand on fait IB.IC cela veut dire que c'est égal à 0 ?
et AI.IC + IB .AI s'annule donc a sont tour ?

Je n'arrive pas trop a manipuler un produit scalaire ...

Posté par
ClayVerre : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 15:47

Non, pas exactement... \vec{\mathrm{IB}} = \vec{\mathrm{CI}} (et non pas avec un signe comme tu l'as écrit). Donc \vec{\mathrm{AI}} \cdot \vec{\mathrm{IC}} + \vec{\mathrm{IB}} \cdot \vec{\mathrm{AI}} = -\vec{\mathrm{AI}} \cdot \vec{\mathrm{IB}} + \vec{\mathrm{IB}} \cdot \vec{\mathrm{AI}} = 0 (rappel : \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}), et \vec{\mathrm{IB}} \cdot \vec{\mathrm{IC}} = \vec{\mathrm{IB}} \cdot (-\vec{\mathrm{IB}}) = -\vec{\mathrm{IB}} \cdot \vec{\mathrm{IB}} = -||\vec{\mathrm{IB}}||^2, donc au final :
\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{AC}} = ||\vec{\mathrm{AI}}||^2 - ||\vec{\mathrm{IB}}||^2 = \mathrm{AI}^2 - \mathrm{IB}^2

Posté par
luna20re : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 16:52

Ah d'accord !
Donc à la fin on trouve vec AB . vec AC = 9 c'est bien ça ?

Posté par
ClayVerre : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 17:02

C'est bien ça

Posté par
luna20re : Propriétés du produit scalaire 17-04-17 à 17:23

Ok, merci beaucoup pour votre aide !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !