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Propriétés limites

Posté par
jackobenco 17-08-17 à 19:16

Bonjour à la communauté , j'ai un petit problème sur une démo de propriété

Supposons a un réel tel que -1<a<1 alors lim a^n = +

Raisonnons par l'absurde :
Supossons d(a,0)<1 et lim a^n \neq 0 tel que >0 tel que N0N , n1N0 tel que \mid a^n\mid \succ
a > ^(1/n) alors >1  on a  a>^(1/n)>1

Or d(a,0)<1 d'ou la contradiction .

Mais pour 1 , je n'ai pas de solutions.
Quelqu'un aurait une idée?

Merci d'avance à la communauté.

Posté par
jsvdbre : Propriétés limites 17-08-17 à 19:26

Bonjour jackobenco

jackobenco @ 17-08-2017 à 19:16

Supposons a un réel tel que -1<a<1 alors lim a^n = +

C'est faux, la limite est nulle.

Pour la démo, tu prens 0 < a < 1 et tu dis que la suite n an est décroissante minorée donc admet une limite.
Tu considères un réel L > 0 et tu cherches un entier N tel que aN+1 < L < aN.
Tu conclus.

Posté par
jackobencore : Propriétés limites 17-08-17 à 23:20

Bonsoir,
Oui je me suis trompé évidemment la limite est nulle.

Posté par
jackobencore : Propriétés limites 17-08-17 à 23:45

Merci pour ta réponse mais je vois pas trop quoi conclure de tes explications

Désolé

Posté par
jsvdbre : Propriétés limites 18-08-17 à 00:32

Tu conclus que seul L = 0 convient comme limite (enfin ! si c'est ce que tu cherches) puisque tu as trouvé un terme de la suite qui "passe" en dessous de L pour tout L > 0.

Posté par
nadiasoeur123re : Propriétés limites 18-08-17 à 11:09

Bonjour ;

Je reprends ta méthode , et j'essaierai de faire une démonstration directe et non par l'absurde .

Pour a = 0 on a \lim_{n\rightarrow + \infty} a^n = 0 .

Pour a \in ]-1;0[\cup]0;1[ ,

si \lim_{n\rightarrow + \infty} a^n = 0 alors on a \forall \epsilon > 0 , \exists N \in \mathbb N , \forall n \in \mathbb N : n > N \Rightarrow |a^n| < \epsilon

pour cela il suffit d'avoir : N = \dfrac{\ln(\epsilon)}{\ln(|a|)} \quad .

Conclusion : pour a \in ]-1;1[ : \lim_{n\rightarrow +\infty} a^n = 0 .

Posté par
nadiasoeur123re : Propriétés limites 18-08-17 à 11:11

Rectification :

nadiasoeur123 @ 18-08-2017 à 11:09


pour cela il suffit d'avoir : N < \dfrac{\ln(\epsilon)}{\ln(|a|)} \quad .

Posté par
jackobencore : Propriétés limites 19-08-17 à 04:26

Bonsoir ,
excuse moi je comprends pas d'ou tu commences , c'est-à-dire de quelle supposition tu pars pour arriver à la conclusion que la limite est 0.

Posté par
jsvdbre : Propriétés limites 19-08-17 à 11:16

Soit L > 0 et 0 < a < 1.
Si tu cherches un entier N tel que a^N < L alors N.\ln(a) < \ln(L).

Comme \ln(a) < 0 il vient : N > -\dfrac{\ln(L)}{\ln(a)}.

Donc si L \geq 1 tout N convient.

Si  0<L<1  alors \ln(L)<0 et donc N = \left[\dfrac{\ln(L)}{\ln(a)}\right]+1 convient.

Conclusion : pour tout L > 0 et tout 0 < a < 1 la suite décroissante n an ne peut avoir L pour limite et elle tend donc vers 0.


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