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Prouver egalité Somme/Intégrale

Posté par
martizic 30-11-23 à 17:42

Bonjour,

J'ai un exercice de série de fonction que je ne sais vraiment pas résoudre...
Voici l'énoncé :

Montrer que,
\int_{0}^{+inf}{\frac{x^2}{e^x - 1} dx} = 2 \sum_{n=1}^{+inf}{\frac{1}{n^3}}

Pouvez-vous me donner des indices de comment commencer svp?
Merci!

Posté par
carpediemre : Prouver egalité Somme/Intégrale 30-11-23 à 18:19

salut

très certainement partir de l'intégrale et de la fonction f(x) = x^2 \dfrac 1 {e^x - 1}

après les justifications habituelles d'existence (genre à priori pb en 0) faire un développement en série du quotient et intégrer terme à terme ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Prouver egalité Somme/Intégrale 30-11-23 à 23:08

Bonsoir

Une piste possible :


\boxed{0} Bonjour carpediem

\boxed{1} Remarquer que \Large\boxed{\forall x>0~,~\frac{x^2}{e^x-1}=\frac{x^2e^{-x}}{1-e^{-x}}}.

\boxed{2} Remarquer que \Large\boxed{\forall x>0~,~\forall n\geqslant1~,~\frac{1}{1-e^{-x}}=\frac{1-e^{-nx}}{1-e^{-x}}+\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}=\sum_{k=0}^{n-1}e^{-kx}+\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}},

et donc que \Large\boxed{\forall x>0~,~\forall n\geqslant1~,~\frac{x^2}{e^x-1}=\sum_{k=0}^{n-1}x^2e^{-(k+1)x}+\frac{x^2e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}=\sum_{k=1}^nx^2e^{-kx}+\frac{x^2e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}}.

\boxed{3} Prouver que \Large\boxed{\forall k\geqslant1~,~\int_0^{+\infty}x^2e^{-kx}dx=\frac{2}{k^3}}.

\boxed{4} Prouver que \Large\boxed{\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{x^2e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}dx=0}.


\boxed{5} Conclure. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
martizicre : Prouver egalité Somme/Intégrale 30-11-23 à 23:10

Bonsoir,

Merci beaucoup pour vos réponses, je les lirais demain matin!

Bonne nuit à tous!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Prouver egalité Somme/Intégrale 30-11-23 à 23:17

C'est un plaisir martizic

Posté par
carpediemre : Prouver egalité Somme/Intégrale 01-12-23 à 18:44

salut elhor_abdelali : ha oui la fameuse égalité avec l'exponentielle pour faire apparaitre la suite géométrique

merci


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