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Niveau Maths sup
Prouver la divisibilité de ce polynome
Posté par abdalnour
Excusez moi de vous déranger et merci d'avance pour votre aide
je planche sur un petit exercice sur les polynomes:
Enoncé: décomposer dans C 1+X+...+X^(n-1)= P(X)
déduire que pour n appartenant à N* et p appartenant à N: 1+X+...+X^(n-1)|(1+X+...+X^n)^p+X^n
La première question c'est bon j'ai trouver que ce polynome était la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison x
J'ai pu en déduire que les racines étaient les racines n-ièmes de 1
soit 
k=r^(1/n)*exp(2ik
/n)
d'où P(X)=multiplication de 0 à n-1 de (X-k)
pour la deuxième question je bloque. j'imagine qu'il faut montrer que (1+X+...+X^n)^p+X^n possède aussi ces racines mais en fait je ne vois pas de quel résultat du cours cela découle....
Merci d'avance
Bonjour.
Les racines de P sont bien les racines n-èmes de l'unité, sauf 1; c'est à dire pour 1
kn-1
En revanche ta deuxième question me laisse perplexe; pour n=2 et p=1, 1+X devrait diviser (1+X+X2)+X2 ce qui n'est évidemment pas le cas. Alors est-tu sûr de l'énoncé?
Bonjour à tous
C'est simple, tu calcules l'image des racines n èmes de l'unité par le polynôme qu'indique frenicle et tu montres que ça fait 0.
Tigweg
d'accord je dois montrer que les racines du diviseur sont aussi celles du dividende.
Je comprends que le dividende s'annule aux mêmes endroits mais je ne comprends pas trop pourquoi cela suffit pour dire qu'il le divise....
En tout cas je vais essayer ça...
Citation :
d'accord je dois montrer que les racines du diviseur sont aussi celles du dividende.
d'accord je dois montrer que les racines du diviseur sont aussi celles du dividende.
Pas exactement, tu dois montrer que toutes les racines du diviseur présumé sont aussi des racines du dividende (qui peut très bien avoir encore d'autres racines).
En quoi cela suffit-il?
Il suffit d'écrire les décompositions obtenues pour tes deux polynômes en utilisant l'équivalence:
"P admet les complexes A1,...,Ak comme racines <=> P est factorisable par (X-A1)...(X-Ak)".
Tigweg
Citation :
Comment on fait?
Comment on fait?
-> Que dire de l'image d'une racine n ème de l'unité u par 1 + X + ... + Xn?
Poruvez que ....divise...
il me semble qu'il faudrait préciser dans quel anneau on demande la divisibilité :
a) Dans C(X) la question est vide
b) dans C[X] c'est ce que tu es en train de faire effectivment suffit de montrer que toute les racines du diviseurs potentiels sont racines du dividende AVEC une multiplicité inférieure
c) dans Q[X] ?
d) dans Z[X] ? c'est quand même mieux d'être plus précis non ?
Citation :
et bien cela fait zéro,sauf pour 1
et bien cela fait zéro,sauf pour 1
->Non, ça ne fait pas 0 du tout pour u différent de 1!
Si tu sommes tous les termes sauf le dernier ça fera 0, ça oui!
Donc?
lolo217->Il est dans C
Attention, pas de style sms sur le forum s'il te plaît!
Que vaut la somme de 1 + X + ... + Xn-1 si X=u?
"lolo217->Il est dans C" : oui je m'en doute mais en fait si ça marche dans C ici ça marche dans Z !
Certes, mais abdalnour a bien écrit dans son énoncé :
Citation :
Enoncé: décomposer dans C 1+X+...+X^(n-1)= P(X)
.Enoncé: décomposer dans C 1+X+...+X^(n-1)= P(X)
oui mais c'est pas parce qu'on décompose dans une clôture algébrique qu'on se contente d'y étudier la divisibilité
Comment ça?
Si P et Q sont à coefficients entiers et si P divise Q dans C[X] alors P divise Q dans Q[X] non?
oui ça c'est vrai les polynômes de Q(X) sont les éléments de Q[X] (mais pour un étudiant qui voit ça pour la première fois c'est peut-être mieux de le dire).
Cela étant ICI on même un quotient dans Z[X] .