Salut,
A tu demontré avant dans l'exo que cos(pi/5)=(1+rac(5))/4
?

si oui, il te suffit de developper...
par contre, si tu ne connais pas la valeur de cos(pi/5)
l'exo est plus compliqé, j'y réflechit...

A+

salut
Merci pour ta réponse Guillaume. Je n'ai pas montré que cos(pi/5)=(1+rac(5))/4
mais je vais essayer de passer par ce résultat pour prouver que c'est
égal à 0.
Ciao

Bonjour
et pour le faire tu remarques que si tu as un triangle rectangle dont
l'un des angles aigus vaut 2pi/5, càd 72°, l'autre vaut
90-72=18° càd pi/10.
et cela veut donc dire si tu appelles a l'angle pi/5
que cos2a=sina/2  (le sinus d'un angle est égal au cosinus de son
complémentaire)
A partir de là en "triturant" quel que peu la relation, tu peux remonter
aux valeurs caractéristiques de pi/5
Je te laisse chercher et si tu ne t'en sors pas, reviens sur le
site
Bon travail

Salut !

Désolée, mais je ne vois pas comment faire autrement pour le moment... Mais
j'y réfléchit aussi !!!

Ce qui m'embête, en fait, c'est qu'il me semble que c'est
plutôt en sens inverse qu'on raisonne d'habitude :
c'est-à-dire qu'il me semble qu'on montre (je ne sais plus comment
) que 4 (cos ( /5))² - 2 cos ( /5) - 1
=0.
Et c'est ensuite qu'on en déduit  que
cos( /5) = (1+ (5))/4

Je précise ma pensée : une fois qu'on a montré que  4 (cos (
/5))² - 2 cos ( /5) - 1 =0, on en déduit que cos(
/5) est solution de l'équation du second degré   4x²-2x-1=0
Donc en résolvant cette équation (en calculant le discriminant, etc.),
on trouve deux valeurs possibles pour x, et donc pour  cos(
/5)

C'est pour ça que je dis que c'est peut-être pas l'esprit de
l'exercice de supposer que cos( /5) = (1+ (5))/4
Mais bon, faute de mieux...

Salut Titi VTS
En fait c'est exactement ce que demande l'énoncé: prouver
que x est solution de 7 équation au second degré: 4x²-2x-1=0
en sachant que x = cos (pi/5) et en ayant démontrer dans la question
d'avant que sin (2pi/5) = sin (3pi/5), c'est censé nous
aider à le montrer.
Mais est-ce que démontrer que x est solution de l'équation, c'est
montrer quand remplaçant x par cos (pi/5) dans l'équation et
que si on trouve 0, alors x est bien une solution de l'équation.
Peut-être que je me suis trompée dès le début alors... ce n'est
pas par là qu'il faut partir...
En tous cas merci pour toutes ses réponses.

Dans ce cas, mes craintes étaient justifiées : tu ne peux pas utiliser
la valeur de cos( /5) que t'a donné Guillaume .

Par contre, tu as une formule qui te dit que
[cos(a)]² = (cos(2a)+1)/2.
Et d'autre part, Ga t'a rapelé que
cos(2a)=sin(a/2)  (le sinus d'un angle est égal au cosinus de son
complémentaire)

Calcule 4*cos( /5)² +... en utilisant ces résultats ET l'indication
de ton énoncé... ça devrait marcher...
Je vais le faire de mon côté...

Effectivement, c'est ce que je pensais aussi:

en utilisant sin(2pi/5)=sin(3pi/5) tu peux montrer que cos(pi/5) est
solution de 4x²-2x-1=0 (avec des formules trigo)
c'est ensuite que tu en deduira (si besoin) que cos(pi/5)=(1+rac(5))/4
en trouvant les racines du polynome

PAS l'inverse.
les conseils de titivts vont te mener au bout de l'exo...

A+

De manière tordue:

Soit un triangle ABC rectangle en A, angle en B = 2Pi/5 et angle en C
= Pi - (Pi/2 + 2Pi/5) = Pi/10

Dans ce triangle, on a:
AC = BC.cos(Pi/10)
AC = BC.sin(2Pi/5)

->  cos(Pi/10) =  sin(2Pi/5)    
cos(Pi/10) =  2.sin(Pi/5) . cos(Pi/5)   (1)

Or cos(2x) = 2cos²x - 1
cos(x) = +/- V[(1+cos(2x))/2]  avec V pour racine carrée.
Si x = Pi/10, son cos est positif (puisque x dans le premier quadrant)
->
cos(Pi/10) = V[(1+cos(Pi/5))/2]   (2)

(1) et (2) ->
V[(1+cos(Pi/5))/2] = 2.sin(Pi/5) . cos(Pi/5)

(1/2).(1+cos(Pi/5)) = 4.sin²(Pi/5) . cos²(Pi/5)
(1/2).(1+cos(Pi/5)) = 4.(1-cos²(Pi/5)) . cos²(Pi/5)
1+cos(Pi/5)= 8.(1-cos²(Pi/5)) . cos²(Pi/5)
8cos^4(Pi/5) - 8.cos²(pi/5) + cos(pi/5) + 1 = 0

Pour faciliter l'écriture, posons  cos(pi/5) = x
On a:
8x^4 - 8x² + x + 1 = 0
On fait la division euclidienne de 8x^4 - 8x² + x + 1 par (4x² - 2x
- 1), on trouve 2x²+x-1 comme quotient.

-> 8x^4 - 8x² + x + 1 = (4x² - 2x - 1) . (2x²+x-1) = 0

Or 2x²+x-1 = 2.(x+1)(x-(1/2))

->  8x^4 - 8x² + x + 1  = 2.(4x² - 2x - 1).(x+1)(x-(1/2)) = 0   (1)

Comme x = cos(Pi/5), x est différent de -1 (car cos(x) = -1 pour x = (2k+1).Pi
avec k entier)
Comme x = cos(Pi/5), x est différent de 1/2 (car cos(x) = 1/2 pour x =
+/-Pi/3 + 2kPi avec k entier)

-> (1) impose: (4x² - 2x - 1) = 0
soit 4.cos²(Pi/5) - 2.cos(Pi/5) - 1 = 0
-----
Sauf distraction.    

Remarque: il y a sûrement plus simple.  

Désolé je n'avais pas vu les 2 précédentes réponses en envoyant
la mienne.

Merci

J'ai suivi tous vos conseils et je suis maintenant bloquée sur

2 ( cos (2pi/5) + sin (pi/5) - 2 )

il faut que j'arrive à prouver que c'est égal à 0

Je ne sais pas quel conseil tu as suivi, mais il y a une erreur car

2 ( cos (2pi/5) + sin (pi/5) - 2 ) n'est pas égal à 0.
-----
Si tu n'aimes pas ma précédente démonstration, en voila une autre
plus directe:


On a sin(x) = sin(Pi-x) quel que soit x -> avec x = 2Pi/5, il vient:

sin(2pi/5) = sin(3pi/5)
sin(2pi/5) = sin(2pi/5 + pi/5)
sin(2pi/5) = sin(2Pi/5).cos(Pi/5) + cos(2Pi/5).sin(Pi/5)
2.sin(pi/5).cos(Pi/5) = 2.sin(Pi/5).cos²(Pi/5) + cos(2Pi/5).sin(Pi/5)
2.cos(Pi/5) = 2.cos²(Pi/5) + cos(2Pi/5)

Or cox(2x) = 2cos²(x) - 1 -> avec x = Pi/5, il vient:
cos(2Pi/5) = 2.cos²(Pi/5) - 1  ->
2.cos(Pi/5) = 2.cos²(Pi/5) + 2.cos²(Pi/5) - 1
4cos²(Pi/5) - 2cos(Pi/5) - 1 = 0
-----
Saud distraction.    

Merci mille fois J-P
Une dernière question, est-ce que je peux remplacer le point par un multiplié?

2.cos(Pi/5) est équivalent à 2cos(Pi/5) est équivalent à 2*cos(Pi/5)
est équivalent à 2 X cos(Pi/5)  

Ce sont justes plusieurs façons pour écrire des choses équivalentes.