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prouver une égalité dans les suites

Posté par séline (invité) 16-09-05 à 18:08

bsr

comment peut on prouver que:

(pi*R^3)/n^3 * ((n^2-1^2)+(n^2-2^2)+....+(n^2-(n-1)^2))

=  pi*R^3 * (4n^2-3n-1)/6n^2

merci d avance

séline

Posté par
cinnamonre : prouver une égalité dans les suites 16-09-05 à 18:28

Salut,

(n^2-1^2)+(n^2-2^2)+...+(n^2-(n-1)^2)
=\Bigsum_{k=1}^{n-1}n^2-k^2

= \Bigsum_{k=1}^{n-1}n^2-\Bigsum_{k=1}^{n-1} k^2

=(n-1)n^2 - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}

= \frac{6(n-1)n^2-(n-1)n(2n-1)}{6}

=\frac{6n^3-6n^2-(n^2-n)(2n-1)}{6}

=\frac{6n^3-6n^2-[2n^3-n^2-2n^2+n]}{6}

=\frac{4n^3-3n^2-n}{6}.

D'où :
\frac{\pi R^3}{n^3} \times \Bigsum_{k=1}^{n-1}n^2-k^2
=\frac{\pi R^3}{n^3}\times \frac{4n^3-3n^2-n}{6}

=\pi R^3 \times \frac{4n^3-3n^2-n}{6n^3}

=\pi R^3 \times \frac{4n^2-3n-1}{6n^2}.


à+



Posté par
dad97 Correcteurre : prouver une égalité dans les suites 16-09-05 à 18:31

Bonsoir,

3$\rm \frac{\pi\times R^3}{n^3} \times ((n^2-1^2)+(n^2-2^2)+....+(n^2-(n-1)^2))=\frac{\pi\times R^3}{n^3} \times [\Bigsum_{k=1}^{k=n-1}(n^2-k^2)]

3$\rm =\frac{\pi\times R^3}{n^3} \times [\Bigsum_{k=1}^{k=n-1}n^2-\Bigsum_{k=1}^{k=n-1}k^2]

or 3$\rm \Bigsum_{k=1}^{k=n-1}n^2=n^2\times (n-1)

et
3$\rm \Bigsum_{k=1}^{k=n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} (se démontre par récurrence)

d'où
3$\rm \frac{\pi\times R^3}{n^3} \times ((n^2-1^2)+(n^2-2^2)+....+(n^2-(n-1)^2))=\frac{\pi\times R^3}{n^3} \times(n^2\times (n-1)-\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}]

3$\rm =\frac{\pi\times R^3}{n^3} \times \frac{n(n-1)}{6}(6n-2n+1)

3$\rm =\frac{\pi\times R^3}{n^2} \times \frac{(n-1)}{6}(4n+1)

soit
4$\rm\blue\fbox{ \frac{\pi\times R^3}{n^3} \times ((n^2-1^2)+(n^2-2^2)+....+(n^2-(n-1)^2))= \pi\times R^3 \times \frac{4n^2-3n-1}{6n^2}}

Posté par
dad97 Correcteurre : prouver une égalité dans les suites 16-09-05 à 18:31

bouh en retard

Posté par
cinnamonre : prouver une égalité dans les suites 16-09-05 à 18:32

Salut dad97

Posté par
dad97 Correcteurre : prouver une égalité dans les suites 16-09-05 à 18:33

Salut Cinnamon


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