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Prouvez un encadrement

Posté par
shyama
02-01-18 à 15:37

Bonjour existe-il un moyen efficace pour montrer l'encadrement suivant :
0 ⩽ ln(1+x) ⩽ x

Merci bien.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Prouvez un encadrement 02-01-18 à 15:42

Bonjour

Oui, après avoir déterminé le domaine de définition, étudier les fonctions f(x)=\ln(1+x) et g(x)=x-\ln(1+x)

Posté par
WilliamM007
re : Prouvez un encadrement 02-01-18 à 15:49

Bonjour.

Le plus accessible est de poser f(x)=ln(1+x)-x et d'étudier son signe avec un tableau de variations pour constater qu'elle est négative.

Le plus rapide est certainement de dire que ln est concave, donc
ln(1+x)\le ln(a)+(1+x-a)/a
En particulier avec a=1, on obtient l'inégalité demandée.

Une autre manière, plus compliquée, mais qui a le mérite de ne pas partir de la solution, est d'écrire le développement en série entière de ln :
ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}=x+\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}, le deuxième terme étant une somme de série alternée, donc de signe donné par le premier terme de la somme, à savoir -x²/2, toujours négatif, d'où l'inégalité, ici valable sur ]-1,1] car le DSE se fait sur cet intervalle.

Posté par
stroppycow
re : Prouvez un encadrement 02-01-18 à 15:50

Bonjour,
Le moyen le plus efficace à mon sens est de dire que la fonction  x \longmapsto \ln(1+x) est concave donc son graphe est en dessous de toutes ses tangentes et en particulier pour la tangente en 0.

Posté par
carpediem
re : Prouvez un encadrement 02-01-18 à 16:37

salut

un moyen efficace ... mais pas le plus classique (comme Camélia l'a proposé) ...

\ln (1 + x) = \int_0^x \dfrac 1 {1 + t} dt

donc x \ge 0 => \ln (1 + x) \le \int_0^x 1dt

Posté par
malou Webmaster
re : Prouvez un encadrement 02-01-18 à 17:21

shyama, merci de fermer ce compte qui est un multicompte et reprendre le sujet avec ton autre compte
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