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[PSCI] Complexes très complexes ...

Posté par
boubou01 07-10-07 à 12:22

Bonjour^^ J'ai cet exo a faire pour la semaine prochaine mais je ne comprend strictement rien du tout :S Si quelqu'un pouvait m'aider un petit peu

On définit P la partie de par : P = {z/Re(z)>0 ou (Re(z)=0 et Im(z)0)}.

1) Montrer que : u !zP z2=u.

2) En déduire : uP !zP z2=u.

3) Montrer que : u zP z4=u (on pourra se ramener au système \{{u=Z^2\atop Z=z^2} introduisant une variable auxiliaire Z).

4) Résoudre, dans , l'équation d'inconnue z : z^4 = i .

5) Montrer que iP et que parmi les solutions précédentes, deux sont dans P.

6) Calculer les carrés de ces 2 solutions dans P et montrer qu'un seul de ces carrés est dans P.

7) En déduire que uP !zP z4=u est faux.

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 13-10-07 à 22:52

Personne pour m'aider ? =(

Posté par
ottore : [PSCI] Complexes très complexes ... 13-10-07 à 22:55

Bonjour,
qu'as tu réussi à faire ?
Raisonne à partir des arguments pour la première question, par exemple en considérant u par ses coordonnées polaire u=r.exp(it)
si z^2=u, que valent |z| et arg(z) ?

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 13-10-07 à 23:05

A vrai dire je n'ai rien fait =(

Je sais qu'a partir de la question 4 il faut utiliser ce qu'on sait a propos de la racine n-ieme mais je bloque surtout au niveau des toutes premieres questions

"si z^2=u, que valent |z| et arg(z) ?"

En posant u=re^i\theta bah |z^2|=r^2 et arg(z^2)=2\theta mais bon tu m'as posé la question pour |z| et arg(z) ..

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 14:34

Pour la 1) il faut montrer que z admet une racine carrée nan ?

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 17:49

Désolé pour le multi-post déjà

Donc déjà je n'arrive pas du tout a résoudre les 3 premières questions de cet exo ! C'est frustrant vu que ca fait une semaine que je suis sur cet exo

Pour la 4) j'ai tenté ca :

z^4=(e^i\frac{\pi}{8})^4
(\frac{z}{e^i\frac{\pi}{8}})^4=1
D'où \exists k\in [0;3] z=(e^i\frac{\pi}{8})(e^i\frac{2k\pi}{4})
Et \exists k\in [0;3] z=e^i(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2})

Puis après je bloque

J'ai vraiment besoin de quelqu'un la Cet exercice est a rendre demain

Posté par
jeansebre : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 19:08

Bonsoir

T'as fait un dessin? t'as vu ce que c'est, l'ensemble P?

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 19:13

Un dessin ? Bah l'ensemble P c'est l'ensemble des nombres complexes dont la partie réelle est strictement positive ou bien c'est l'ensemble des nombres complexes avec une partie réelle nulle et la partie imaginaire supérieure a 0 ? Enfin je ne fais que lire ce que me dis l'énoncé la lol

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 20:03

Bon j'abandonne les 3 premières questions pour le moment vu que j'y arrive vraiment pas. Need help^^

Pour reprendre mon post de 17h49 j'ai 4 solutions

e^i\frac{\pi}{8}
e^i\frac{5\pi}{8}
e^i\frac{9\pi}{8}
e^i\frac{13\pi}{8}

Pour la 5)

i \in P car i=e^i\frac{\pi}{2} = cos(\frac{\pi}{2}) +isin\frac{\pi}{2} = 1i d'où Re(z)=0 et Im(z)\ge0 donc i \in P.

Pour les deux solutions dans P bah je dirais que e^i\frac{\pi}{8} \in P car sa partie réelle est strictement supérieure a 0 (cf cercle trigonométrique) et e^i\frac{13\pi}{8} \in P pour la même raison .. quelqu'un peut il confirmer ?

Pour la 6)

(e^i\frac{\pi}{8})^2=e^i\frac{\pi}{4}

et

(e^i\frac{13\pi}{8})^2=e^i\frac{13\pi}{4}

Donc le seul carré qui est dans P est (e^i\frac{\pi}{8})^2=e^i\frac{\pi}{4} (cf cercle trigonométrique).

Pour la derniere question je vois pas

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 22:22

Personne ne voit pour les trois premieres questions impossible ?

Posté par
perroquetre : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 22:39

Bonjour, boubou01

Une indication pour la première question.
Tu dois sans doute avoir dans ton cours le résultat suivant:

Citation :
Si u est un complexe non nul, alors l'équation z^2=u a deux racines dans C, delta et -delta


Il ne reste plus alors qu'à considérer les cas suivants:

Premier cas: la partie réelle de delta est strictement positive. Alors l'unique racine de l'équation z^2=u qui appartient à P est delta

Deuxième cas: la partie réelle de delta est strictement négative. Alors l'unique racine de l'équation z^2=u qui appartient à P est -delta

Troisième cas: la partie réelle de delta est nulle. On raisonne alors sur la partie imaginaire de de delta.

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 22:49

Bonsoir perroquet

Citation :
Si u est un complexe non nul, alors l'équation z^2=u a deux racines dans C, delta et -delta


Houlala je n'ai jamais vu ca en cours Je n'ai pas trop compris ce que tu m'as dis

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 22:53

Ha si en fait j'ai vu quelque chose de ce genre en cours (\delta^2=\Delta) puis on devait resoudre un systeme pour trouver les solutions .. mais ca a un rapport avec la question ca ? =/

Posté par
perroquetre : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 23:00

Ce résultat est dans le programme de Terminale S. Tu as obligatoirement résolu des équations du second degré dans C, où il fallait calculer le discriminant, puis déterminer les racines carrées du discriminant ...

Posté par
perroquetre : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 23:01

Si tu lis la suite de mon post de 22h39, tu vois bien qu'il y a un rapport ...

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 23:18

Ha si je crois qu'il faut que je me serve de ce système en fait ..

\delta^2=\Delta \Longleftrightarrow (a+ib)^2=\alpha+i\beta
\delta^2=\Delta \Longleftrightarrow a^2-b^2+2iab=\alpha+i\beta
\delta^2=\Delta \Longleftrightarrow \.\array{rcl$a^2-b^2&=&\alpha\\\beta&=&2ab\}

Nous avons aussi |\delta^2|=|\Delta| donc a^2+b^2=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}

Nous avons donc à résoudre 4$\.\array{rcl$a^2-b^2&=&\alpha\\a^2+b^2&=&\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\\\beta&=&2ab\}

Donc je fais pas tous les détails pour trouver a^2 et b^2 et on trouve:

a\in \sqrt{\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}+\alpha}{2};-\sqrt{\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}+\alpha}{2}}

et

b\in \sqrt{\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}-\alpha}{2};-\sqrt{\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}-\alpha}{2}}

Donc heu .. je sais pas où ca nous mène

Posté par
perroquetre : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 23:41

Pour que a+ib soit dans P, il est nécessaire et suffisant que a>0 ou que  a=0 et b>=0 ...

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 23:50

Donc si z=\sqrt{\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}+\alpha}{2}} ou si z=i\sqrt{\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}-\alpha}{2}} bah on a bien ce qui est demandé dans la question 1) ?

Posté par
boubou01re : [PSCI] Complexes très complexes ... 14-10-07 à 23:56

Mais bon on demande un unique z .. or j'en ai 2 Ptet que je me suis trompé


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