Voilà, j'ai énormément de chose à faire pdt les vac alors ça seré cool de me donner un coup de pouce pr m'avancer, voici quelques exo très rapides! Merciiiiiiiiiii d'avance

1)Montrer que la droite D est asymptote à Cf en +infini
lorsque f(x)=racine de (x²+2x+3) et D:y=x+1
aide:étudier la limite en + infini de f(x)-(x+1) en utilisant ttes les ressources disponibles: expression conjuguée, factorisation du terme prépondérant.................

2)a-Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse a à la parabole P d'équation y=x²-4x+5

b-En quels points de P peut-on mener une tangente issue de l'origine?Vérifier sur un dessin

3)Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est dérivable, et étudier les variations de f.
a-f(x)=3-cos²x sur [0,pi]
b-f(x)=1/sinx sur ]0,pi[

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1)
f(x)=racine de (x²+2x+3) et D:y=x+1

g(x) = f(x) - (x+1)
g(x) = V(x²+2x+3) - (x+1)   (V pour racine carrée).

g(x) = [V(x²+2x+3) - (x+1)][V(x²+2x+3) + (x+1)]/[V(x²+2x+3) + (x+1)]
g(x) = [(x²+2x+3) - (x+1)²]/[V(x²+2x+3) + (x+1)]
g(x) = [(x²+2x+3) - (x²+2x+1)]/[V(x²+2x+3) + (x+1)]
g(x) = 2/[V(x²+2x+3) + (x+1)]

lim(x-> oo) [ f(x) - (x+1)] = lim(x-> oo) [ 2/[V(x²+2x+3) + (x+1)]] = 2/(oo+oo) = 0

Et donc la droite d'équation y = x + 1 est asymptote oblique en + oo à la Cf
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2)
a)
f(x) = x²-4x+5
f '(x) = 2x - 4

f(a) = a²-4a+5
f '(a) = 2a - 4

T: (y - f(a)) = (x - a).f '(a)
T: y - (a²-4a+5) = (2a-4).x - a(2a-4)
T: y = (2a-4).x + a²-4a+5 - 2a² + 4a
T: y = (2a-4).x - a² + 5
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b)
If faut trouver a pour que ma droite d'équation  y = (2a-4).x - a² + 5 passe par O(0 ; 0)

-> 0 = (2a-4).0 - a² + 5
a² = 5
a = -V5 et a = V5   (avec V pour racine carrée).
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3)

a)
f est dérivable sur tout l'intervalle.

f '(x) = 2cos(x).sin(x)
f '(x) = sin(2x)

f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; Pi/2[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = Pi/2
f '(x) < 0 pour x dans ]Pi/2 ; Pi[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = Pi
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b)
f '(x) =  -cos(x)/sin²(x)

f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; Pi/2[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = Pi/2
f '(x) > 0 pour x dans ]Pi/2 ; Pi[ -> f(x) est croissante.
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Sauf distraction.  


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