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Puissance i

Posté par
Yahnyx
16-07-16 à 20:07

Bonjour.
Je me pose une question : à quoi est égal a^i ?
Plus précisément, qu'est ce qu'il se passe lorsqu'on met un nombre à la puissance i ?
Merci d'avance.

Posté par
mdr_non
re : Puissance i 16-07-16 à 20:38

bonjour : )

Si a > 0 alors il s'agit tout simplement du nombre complexe e^{i \ln a} = \cos(\ln a) + i\sin(\ln a).

Si a \in \C^* alors il s'agit du nombre complexe e^{i \ln a} = e^{i\ln|a| -\arg(a)}.
Attention, ici il s'agit du logarithme complexe, \ln a = \ln|a| + i\arg a \, [2\pi].

Sinon, il y a bien une formule générale pour évaluer a^b avec (a, b) \in \C^{*}\times\C.

Posté par
mdr_non
re : Puissance i 16-07-16 à 20:53

Si par hasard ton i ne désigne pas le nombre complexe qui a sa partie réelle nulle et sa partie imaginaire égale à 1 alors oublie la réponse précédent et regarde plutôt la suivante.

Lorsque i est un entier naturel alors pour tout réel a : a^i = \underset{i \text{ fois}}{\underbrace{a\times a \times ... \times a}} (a est multiplié par lui même i fois).

Avec la convention que a^0 = 1.


Ensuite, pour tout a réel non nul, a^{-i} = \frac{1}{a^{i}} = \underset{i \text{ fois}}{\underbrace{\frac{1}{a}\times \frac{1}{a} \times ... \times \frac{1}{a}}} (\frac{1}{a} est multiplié par lui même i fois).


Mais lorsque la puissance n'est pas entière, on n'a plus ce résultat.
Par exemple, si a réel positif, on ne peut pas dire que a^{1/2} est le produit de a par lui même une demi-fois.
Mais on introduit l'exponentielle et le logarithme, pour tout réel a strcitement positif et pour tout réel i, a^i = e^{i\ln a}


Exemples :

3^4 = 3\times3\times3\times3
 \\ 
 \\ 5^{-2} = \frac{1}{5}\times\frac{1}{5}
 \\ 
 \\ 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 \text{  ou  } 4^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}\ln 4} = e^{\ln 2} = 2

Posté par
alainpaul
re : Puissance i 27-07-16 à 16:19

Bon après-midi,


a complexe,il existe donc un cycle pour la fonction  f(a)=ai  : f^{[2]}(a)= (a^i)^i=a^{-1} ; f^{[n]}(a)= ...


Alain

Posté par
luzak
re : Puissance i 09-08-16 à 12:00

Bonjour alainpaul !
Je crois que tu utilises la formule (a^b)^c=a^{bc} qui est fausse pour b,c non réels.

Posté par
alainpaul
re : Puissance i 10-08-16 à 19:43

Bonsoir,

Que vaut ,selon toi f(f(a))?


Alain

Posté par
alainpaul
re : Puissance i 12-08-16 à 16:48

Bonsoir,

A luzak ,ne puis-je pas écrire:

a^i=e^{iln(a)} ,(a^i)^i=(e^{iln(a)})^i=e^{-ln(a)}=\frac{1}{a}

Explique-moi,

Alain

Posté par
carpediem
re : Puissance i 12-08-16 à 19:56

alainpaul @ 12-08-2016 à 16:48

Bonsoir,

A luzak ,ne puis-je pas écrire:

a^i=e^{iln(a)} ,(a^i)^i=(e^{iln(a)})^i=e^{-ln(a)}=\frac{1}{a}

Explique-moi,

Alain


or a^{-1} = \dfrac 1 a donc i = -1 ...

Posté par
luzak
re : Puissance i 13-08-16 à 10:14

Bonjour alainpaul !
C'est justement en écrivant çà

Citation :
(a^i)^i=(e^{iln(a)})^i=e^{-ln(a)}

que tu utilises une formule non valable pour des exposants non réels.

carpediem te montre où le bât blesse !
Contre exemple plus répandu : e^z=e^{(2i\pi)\frac{z}{2i\pi}}=1^{\frac{z}{2i\pi}} en appliquant la même formule fausse. Ce qui est plutôt gênant puisque z est arbitraire...

Posté par
alainpaul
re : Puissance i 15-08-16 à 12:25

Bonjour,

i^2=-1 ,que veut dire Carpediem?  

A luzak:le domaine de validité de la formule  doit certainement  être précisé,


Alain

Posté par
luzak
re : Puissance i 16-08-16 à 09:46

Bonjour !
Me relisant je crois que carpediem a vu "trop vite" a^i=a^{-1} d'où sa remarque, mais il a tort puisqu'il a sauté une virgule entre deux égalités.

De manière générale, la relation (a^b)^c=a^{bc} n'est démontrée que si b\in\R,\;c\in\R même si on définit a^u=e^{u\mathrm{Log}_, a} (a\in\C) où \mathrm{Log} désigne une détermination du logarithme complexe (en raccourci on écrit \mathrm{Log}\,a=\ln|a|+i\mathrm{Arg}a=\ln|a|+i\alpha+2ki\pi, |a| module du complexe a, \alpha un argument de a, k\in\Z)

En reprenant ce que j'ai écrit plus haut :
e^z=e^{(2i\pi)\frac{z}{2i\pi}}=1^{\frac{z}{2i\pi}}=e^{4i\pi\frac{z}{2i\pi}}=e^{2z}
si on applique la formule fausse !

Posté par
carpediem
re : Puissance i 16-08-16 à 12:04

alainpaul @ 12-08-2016 à 16:48

Bonsoir,

A luzak ,ne puis-je pas écrire:

a^i=e^{iln(a)} ,(a^i)^i=(e^{iln(a)})^i=e^{-ln(a)}=\frac{1}{a}

Explique-moi,

Alain


non la suite de calcul qu'écrit alainpaul dit donc que a^i = \dfrac 1 a = a^{-1}

donc i = -1

Posté par
luzak
re : Puissance i 17-08-16 à 09:22

Bonjour carpediem  !

Citation :

non la suite de calcul qu'écrit alainpaul dit donc que a^i = \dfrac 1 a = a^{-1}
donc i = -1

1. En déduisant  i = -1 de  a^i = \dfrac 1 a = a^{-1} tu fais aussi une faute (l'exponentielle complexe n'est pas injective)
2. Voici ce que alainpaul a écrit :
Citation :

A luzak ,ne puis-je pas écrire:
a^i=e^{iln(a)} ,(a^i)^i=(e^{iln(a)})^i=e^{-ln(a)}=\frac{1}{a}

Je vois a^i=e^{iln(a)} suivi de "," puis (a^i)^i=(e^{iln(a)})^i=e^{-ln(a)}=\frac{1}{a} mais pas a^i = \dfrac 1 a = a^{-1} que tu as lu un peu "vite" en recopiant seulement début et fin de ligne.
Il y a DEUX égalités, séparées par "," ponctuation que tu as "oubliée"!

Posté par
alainpaul
re : Puissance i 17-08-16 à 11:43

Bonjour,

Les fortes chaleurs peuvent être néfastes!

D'après ce qu'écrit encore  luzak sur la détermination complexe  du logarithme  népérien ,il doit être possible de trouver des conditions restrictives (intervalle(s))pour que la fonction  f soit cyclique.


Alain

Posté par
carpediem
re : Puissance i 17-08-16 à 12:58

ha oui ... pas vu la virgule ...

Posté par
alainpaul
re : Puissance i 17-08-16 à 17:32

Bon après-midi,

Je reprends l'exemple :4^{\frac{1}{2}}  ,4=e^{ln(4)+2ik\pi} , k\in N et donc: 4^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{ln(4)+2ik\pi}{2}}

Cela nous donne 2 valeurs de signes contraires; le radical \sqrt{4} correspondant à la valeur positive.

Autre point:peut-on affirmer que f a un cycle =4,

Alain

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