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en prenant le ln,

n(ln50/ln7) < p < (n+1)(ln50/ln7) avec k=ln50/ln7 = 2,0103...

k.n < p < k.n + k donc p=2n+1 ou p=2n+2 donc I(n)=2 pour n faible

vérif :
n=0 1<7^p<50 p=1 ou p=2 I(0)=2
n=1 50<7^p<2500 p=3 ou p=4 I(1)=2

n vaudra 3 pour pour n élevé, il faut que kn+n > 2n+3 soit n > (3-k)/(k-2) soit n > 95

A vérifier

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on peut remplacer l'inégalité proposée par
(1)nln50/ln7<p<(n+1)ln50/ln7
ln50/ln7=2,01038..
2,0103n<nln50/ln7<2,0104n
2,0103(n+1)<(n+1)ln50/ln7<2,0104(n+1)
*si   0,0103(n+1)<1 soit si n+1<97 c'est à dire n95  E[(n+1)ln50/ln7]=2n+2
et E[nln50/ln7]=2n
(1) devient 2n+1p2n+2
il y a donc deux valeurs de p qui conviennent:2n+1 et 2n+2
*pour avoir I_n(p)=3 il faut que
E[2,0103(n+1)]-E[2,0104n]=3 est ce bien cela?

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En utilisant les logarithmes, j'en déduit que
I(n)=ArrondiInférieur[(n+1).ln50/ln7]-ArrondiSupérieur[n.ln50/ln7]+1

Il faut trouver où et

I(n) vaudra soit 2, soit 3. (L'intervalle étant tout juste plus grand que 2)

La probabilité que I(n)=2 est 99.484%
La probabilité que I(n)=3 est  0.516%

La plus petit valeur de n pour I(n)=3 est 192.

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J'ai calculé les probabilités en inversant les rôles de p et de n.

Je corrige
P[I(n)=2]=98.9674%
P[I(n)=3]= 1.0326%

et n minimum vaut 96

Je suis pris d'un grand doute...

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En passant au log on obtient que l'écart entre les bornes sup et inf vaut k = log(50)/log(7) c'est à dire environ 2.01.
In peut donc valloir 2 ou 3 (je ne détaille pas plus, d'autres l'ont déjà fait avant moi )


Pour montrer que 3 est atteint une infinité de fois, on commence par montrer que k est irrationnel :
Si log(50)/log(7) = p/q, on aurait 7^p = 50^q, d'où p = q = 1 (divisibilité par 7) absurde.
L'ensemble G des kn + m pour n et m parcourant les entiers relatifs est un sous-groupe de R, qui est donc soit discret soit dense.
Il ne peut être discret car s'il était égal à aZ, puisqu'il contient Z, a serait un rationnel, et puisque G contient k, k serait rationnel.
Donc G est dense, et en particulier l'intersection E de G avec l'intervalle ]0, k - 2[ est infinie.
Enfin si p - kn est un élément de E, alors et donc d'où le résultat.

Je suis peut être allé un peu vite par endroits mais c'est pour te laisser le plaisir de boucher les trous

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les trous de connaissances mathématiques XD, si j'ai plus ou moins compris vite, enfin vite fait quoi^^ mais comme c'est toi, je suis sur que c'est bno donc bravo

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Qu'est-ce que tu ne comprends pas?
Déjà est-ce que tu connais le théorème de structure des sous-groupe de R qui dit qu'un sous-groupe de R est soit discret (de la forme aZ) soit dense?

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en fait, fractal, hier je l'ai lu en diagonale alors déjà que c'était un peu rapide par endroit donc j'ai rien pigé, mais après avoir posté, j'ai bien relus et j'ai compris il vient d'une annales du concours général de je ne sais qu'elle année.

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Il faut faire attention avec ces histoires de probabilités. Ce n'est pas parce qu'un intervalle est deux fois plus grand qu'un autre qu'on va y tomber deux fois plus souvent.
Ici c'est effectivement le cas, mais parce que la suite est équirépartie modulo 1, ce qui est dû au fait que log 50/log 7 est irrationnel.
D'où est-ce que tu sors ta dernière formule?
Je n'ai pas vérifié, mais je doute qu'il existe une formule aussi simple pour donner tous les n tels que In vaille 3.

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C'est tout à fait vrai que l'irrationnalité de ln50/ln7 nous affranchi des cas où , cela retire une épine du pied !

Pour le calcul de la probabilité, je corrige un tout petit peu l'explication:
La probabilité de trouver trois nombres entiers dans un intervalle ouvert 'glissant' de longueur 2.01038 égal la probabilité de trouver un nombre entier dans un intervalle ouvert 'glissant' de longueur 0.01038. Ceci justifie la probabilité annoncée.

Pour la formule, j'ai conjecturé que la répétition du cas de figure vaut l'inverse de sa probabilité.
En réinjectant le résultat dans l'inégalité de l'énoncé... [A noter, p=ArrondiSupérieur(ln50/ln7*n)]

Il est vrai que la 'simplicité' de la formule fait douter...
Je crois ne pas m'être gouré, peut-être peux tu faire la démarche de vérifier et confirmer/infirmer la formule, expliquer mon erreur le cas échéant.

J'ai déjà rencontré sur un autre 'topic' une généralisation de loi de probabilité qui conduisait à une formule tellement simple que je me suis emmêler les pinceaux (comme dans ce cas-ci d'ailleurs...) Dès que je remets la main dessus, j'indiquerai le lien.

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J'ai bien compris ce que tu as fait avec tes probabilités, mais cela ne marche toujours pas.
Si on considère la partie fractionnaire de n(log50/log7), il faut et il suffit que cette partie fractionnaire soit supérieure à 1 - 0.01038 pour qu'il y ait trois nombres dans l'intervalle.
On est donc amené à étudier le comportement de cette suite.
Or, elle a beau prendre ses valeurs entre 0 et 1, pourquoi est-ce qu'elle s'y répartirait équitablement?
Pourquoi est-ce qu'elle ne prendrait pas souvent des valeurs proches de 0 et jamais des valeurs proches de 1?
C'est grâce à l'irrationnalité de (log50/log7), et ce n'est pas totalement immédiat à montrer.

Si (log50/log7) était rationnel, alors la partie fractionnaire de n(log50/log7) serait un rationnel de même dénominateur, et donc la suite ne serait absolument pas équirépartie, mais prendrait ses valeurs dans un ensemble fini, et donc selon le dénominateur de (log50/log7) pourrait ne jamais dépasser 1 - 0.01038.

Ici on n'a pas besoin de l'équirépartition de la suite pour montrer que 3 est atteint une infinité de fois, mais pour pouvoir parler de probabilités comme tu l'as fait, il est absolument nécessaire qu'elle le soit.
Si tu considères par exemple la suite définie par :
(avec {x} la partie fractionnaire de x), cette suite n'est absolument pas équirépartie, elle prend les trois quarts de ses valeurs dans [0,1/2], et uniquement le quart dans [1/2,1], donc il serait risqué de parler de probabilités comme tu l'as fait.

Si tu veux un peu plus d'informations, on a eu cette année un DS là dessus, disponible ici -> où l'on montre justement que la suite {nx} est équirépartie dans [0,1] si et seulement si x est irrationnel (question IV, 3, 1). La notion de probabilité apparaît à la question IV, 2, 5, et le contre-exemple de suite dense non équirépartie que je t'ai donné était pour la question suivante.

Ce n'est donc pas si clair, il faut avoir fait quelques trucs avant pour pouvoir légitimement parler de probabilités

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; comme 2.01, I_n vaut 2 ou 3.
I_n=3 s'il existe un entier p tel que n r < p et p+2 < (n+1) r ce
qui s'écrit si l'on pose r=2+e : soit encore avec k=p-2n . Le plus petit n est .
De manière analogue on montre que I_n=2 si .
Les deux suites sont les suites de Beatty associées aux irrationnels et vérifiant .

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si r est un nombre irrationnel, l'ensemble des parties fractionnaires des nombres r*k, k allant de 0 à l'infini, est dense; son minimum est aussi proche que l'on veut de zéro et son maximum aussi proche que l'on veut de 1
dans le cas présent, il y a une infinité de n avec lesquels n * ln(50)/ln(7) a une partie fractionnaire inférieure à la partie fractionnaire de ln(50)/ln(7)