Bonjour ,

3-)  on peut démontrer que  AI  et  AJ  sont les bissectrices de l'angle  BAC  et s'appuyer sur les propriétés des bissectrices qui forment avec les côtés de l'angle un faisceau harmonique et que l'intersection d'un faisceau harmonique par une droite divise cette droite en rapports harmoniques .
Mais je ne suis pas sûr que cette propriété soit toujours étudiée .

Cordialement

Bonjour fm31,
Je pense que tel que la question est posée, il faut d'abord par calcul algébrique sur la droite JC démontrer les égalités, puis en déduire en considérant les rapports harmoniques que AI et AJ sont les bissectrices et que les droites AM et AD sont antiparallèles à AB et AC, mais je n'arrive pas à démontrer les égalités.
Cordialement.

Bonjour,

on vient de montrer que EA est tangente aux cercles
la puissance de E par rapport au cercle circonscrit est donc
EB.EC = EA² = EI² = EJ²
ceci prouve que la division (I, J, B, C) est harmonique et par conséquent que tout un tas de relations équivalentes sont vraies
dont celle demandée

faire pareil avec la puissance de M par rapport au cercle (E)

je m'insurge contre le vocabulaire "antiparallèle" inapproprié
c'est "isogonales".

soit un triangle ABC et une sécante coupant (AB) en M et (AC) en N

la droite (MN) est parallèle à (BC) ssi AM/AB = AN/AC (Thalès
la droite (MN) est dite antiparallèle à (BC) ssi AM/AC = AN/AB (par association d'idées)
propriétés équivalentes :
les points B,C,M,N sont cocycliques
la droite (MN) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit
etc.

donc aucun rapport avec la propriété ici de AM et AD (prouver avec les divisions harmoniques que AI est bissectrice de FAM et de BAC,
et par conséquent l'égalité des angles BAD et MAC (isogonales = angles égaux, de "iso" égal et "gone" angle)

Nota : tous ces trucs là ne sont pas au programme de première en France actuellement (le furent dans les années 50, et même en seconde)
la difficulté de t'aider vient donc essentiellement de l'ignorance de ce que tu as vu ou pas en cours :
on pourrait te proposer des méthodes inappropriées.

Bonjour. Merci Mathafou pour tes réponses toujours aussi claires et pédagogiques. J'ai tout compris. Je reprends certains exercices des Lebossé-Hemery de ma jeunesse, comme ça, par plaisir des maths et occuper ma retraite. J'ai un niveau bac+4 en électronique, donc une certaine capacité à comprendre, mais je n'avais pas ouvert les bouquins depuis presque 50 ans, donc je bloque sur certaines choses. Je ne connais pas les programmes actuels, mais je m'en moque, ce n'est pas ce qui m'interesse. Juste envie de faire quelques exercices intellectuels pour ne pas tomber gaga avant l'âge, et pouvoir aider mes petits enfants.
Cordialement.

excellents les Lebossé-Hémery d'antan.
j'y ai d'ailleurs cherché vainement cet énoncé (dans les 2nde et 1ère) me doutant un peu de la facture "à l'ancienne" de cet exo.

et on a un peu la même approche des maths : par plaisir et faire marcher sa curiosité.

si on se place au niveau Terminale d'antan, on peut faire intervenir directement les cercles orthogonaux pour couper quelques lignes dans la démonstration.

C'est vrai qu'on en faisait des choses en Math'Elem...

Mathafou, il s'agit de l'exercice 84 géométrie 1ere C. Les 85 et 86 sont d'ailleurs traité sur le site. Moi, j'ai fait série D, donc je suis un peu moins aguerri, mais les maths étaient mon point fort et ma matière préférée.

on ne doit pas avoir la même édition de Lebossé Hémery...
(Géométrie classe de 1ère A', C, M, M' édition de 1962)
l'exo 84 est un des premiers du livre et on n'a pas encore vu/révisé tout ça !
mon exo 84 concerne la "résolution" (calcul des angles etc) d'un triangle de côtés 132, 90, 53 !

C'est l'édition 1966, chapitre produit scalaire. Désolé.

en 66 j'étais en Terminale, je n'avais donc pas eu cette édition nouvelle là de 66 en 1ère
(surtout qu'elle n'a certainement dû être utilisée que à partir de 67 !)

j'ai hélas "échappé" au Lebossé Hémery de Terminale (j'ai eu droit à un "cours Maillard")
et je ne me suis pas précipité assez vite sur la réédition de cette véritable bible qu'est le Lebossé Hémery de terminale
au vu des discussions qu'il suscite sur divers forums

J'étais en terminale en 68-69 et j'ai eu un cours Maillard en seconde. Moins bien, mais pas trop mal quand même. Il y a aussi des exercices difficiles.
Cordialement.

Petite correction de l'énoncé (erreur de recopie sans doute)

"3-)  .....    Montrer que IB.JC=-IC.JB et que IF.JD=-IM.JF   ....."

je pense que c'est :
                     Montrer que IB.JC=-IC.JB et que IF.JM=-IM.JF

Bien vu. Erreur de recopie. Cordialement.