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Puissance d'un point & sym. de l'orthocentre, bloquée à la fin !
Bonjour,
J'aurais besoin d'encore un tout petit peu d'aide.
C'est dans un long exercice sur la puissance de M par rapport au cercle, et il me manque un bout d'une question de la 3ème partie de l'exercice, c'est très frustrant.
Donc voici l'énoncé :
C.
Soit ABC un triangle et 
son cercle circonscrit. La hauteur issue de A rencontre (BC) en P et en A1 ; on désigne par H le symétrique de A1 par rapport à P.
1) Montrer que vecteurBH.vecteurAC=vecteurBP.vecteurPC + vecteurPH.vecteurAP
Je précise que tout est en vecteurs.
BH.AC=(BP.PH) (AP.PC)
=(BP.AP)+(BP.PC)+(PH.AP)+(PH.PC)
=0+BP.PC+PH.AP+0
(=0 parce qu'ils sont perpendiculaires donc leur produit scalaire =0)
Du coup j'ai bien BH.AC=BP.PC+PH.AP
2) En déduire que vecteurBH.vecteurAC=0
Là, il faut que je montre que BP.PC+PH.AP=0
Du coup il faudrait dire que BP.PC=-PH.AP
Peut-être que c'est possible en traçant un diamètre et en utilisant la puissance de P par rapport à ?
Si quelqu'un voulait bien me donner un coup de pouce ??? Merci !
3) Prouver de même que vecteurCH.vecteurBA=0. Que représente le point H pour le triangle ABC ?
Là, j'ai fait le début :
CH.BA=(CP+PH)(BP.PA)
=CP.BP+CP.PA+PH.BP+PH.PA
=CP.PB+PH.PA car les autres sont orthogonaux donc=0
Ensuite, logique, je suis bloquée au même stade !
4)Enoncer le théorème ainsi démontré.
"Le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit". Est-ce que c'est bien ça ?
Merci en tout cas de votre attention et par avance de votre aide !
bonjour
Je précise que tout est en vecteurs.
BH.AC=(BP.PH) (AP.PC)
tu peux nous expliquer sur ce qui surligné en rouge et en bleu . stp
BH.AC=(BP.PH) (AP.PC)
=(BP.AP)+(BP.PC)+(PH.AP)+(PH.PC)
BH=(BP+PH)
AC=(AP+PC)
BH.AC= (BP+PH).(AP+PC)= BP.AP+PH.AP+BP.PC+PH.PC
BP.AP=0
PH.PC=0
donc BP.AP+PH.AP+BP.PC+PH.PC= PH.AP+BP.PC
Oui, vraiment désolée, j'ai vu que je l'avais fait partout. Ce n'était pas voulu, sur mes feuilles ce n'est pas comme ça, mais à force de recopier j'ai fait toutes ces erreurs. Mais ça j'ai compris !
Oui, vraiment désolée, j'ai vu que je l'avais fait partout. Ce n'était pas voulu, sur mes feuilles ce n'est pas comme ça, mais à force de recopier j'ai fait toutes ces erreurs. Mais ça j'ai compris !
je m'en doutais.
C'est l'essentiel: "Mais ça j'ai compris"
continue sur :
[quote]Là, il faut que je montre que BP.PC+PH.AP=0
Du coup il faudrait dire que BP.PC=-PH.AP ou BP.PC=HP.AP[/quote]
Est-ce que comme on sait que B,P et C sont alignés et que A, H et P sont alignés dans cet ordre, ça suffit ?
Je pense tout de même, Inglesk, que tu pourrais dire ceci :
En vertu de la puissance du point P par rapport au cercle, on a BP*PC = PA1*PA (longueurs de segments ).
Si l'on remplace les segments par des vecteurs et les produits ordinaires par des produits scalaires, on aboutit à |BP.PC| = |PA1.PA| (vecteurs), avec des valeurs absolues car les produits scalaires peuvent être de signes différents.
C'est le cas ici, car les vecteurs de gauche sont de même sens et ceux de droite de sens opposés.
Par suite, pour enlever les valeurs absolues, il faut mettre un signe - d'un côté.
Rappel:
Puissance d'un point par rapport à un cercle ( point à l'intérieur d'un cercle)
Théorème d'Euclide
Si deux droites, passant par un point P (à l'intérieur d'un cercle) , coupent un cercle (), l'une en A1 et A, l'autre en C et B, on a :
PA1 × PA = PB × PC .
si en vecteurs BP.PC+PH.AP=0 alors vecteur BH.vecteur AC=0
le produit scalaire de BP*PC=BP*PC=|PB|*|PC|
et
le produit scalaire de HP.AP =| HP|*|AP|=|PA1|*|PA|
|HP|=|PA1| puisque H est symétrique de A1 par rapport à P
A toi
cela n'engage que moi
Tout d'abord, je vous remercie tous les deux pour votre patience et votre accompagnement... prolongé !
Après avoir arrêté (comme vous vous en êtes rendu compte !) et repris ce soir, j'ai trouvé :
D'après la puissance de P par rapport à (est-ce que c'est ça le théorème d'Euclide ?), je sais que (tout est en vecteurs) :
BP.PC=A1P.PA
et je sais que
A1P.PA=PH.PA
donc
A1P.PA=-PH.AP
donc
BP.PC=-PH.AP
et
BP.PC+PH.AP=BH.AC=0
Est-ce que c'est ça ?
Merci en tout cas une fois de plus pour votre aide très très précieuse sans laquelle je n'arriverais à rien quand je suis bloquée car je n'ai pas d'aide à la maison et en cours tout va beaucoup trop vite (je me demande souvent ce que je fais là).
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