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puissance d'une matrice
Bonsoir,
J'ai un exercice noté à faire je suis sur qu'il n'est pas difficile mais rien à faire je ne vois pas comment le résoudre...
Soit A la matrice (2;2) A= (3 -2
2 -1)
on se propose de déterminer A^n pour tout nombre entier naturel n non nul.
1) déterminer une matrice B telle que A=I2+B ou I2 = matrice unité d'ordre 2.
Calculer B^2
2) en déduire A^2
3) Montrer par récurrence que pour tout n>1
A^n= (1+2n -n
2n 1-2n)
Merci beaucoup !
Tu commences par retrancher I de A pour trouver B. I c'est l'identité : des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs.
Ensuite tu calcules B² simplement en élevant B au carré c'est à dire en faisant le produit matriciel de B par B.
Ensuite tu écris A = I + B et tu élèves au carré : A² = A*A = (I+B)*(I+B) = I*I + I*B + B*I + B²
Et tu regardes ce que ça fait...
Et ensuite tu en déduis la récurrence demandée, en passant par A puissance n+1 = A * A puissance n pour prouver l'hérédité.
Alors j'ai trouvé B= (2 -2
2 -2)
Mais la question c) je ne vois pas du tout comment faire une recurrence avec cela ...
Alors j'ai trouvé
B = (2 -2
2 -2)
Bel effort...
Ensuite tu calcules B² simplement en élevant B au carré c'est à dire en faisant le produit matriciel de B par B.
Ensuite tu écris A = I + B et tu élèves au carré : A² = A*A = (I+B)*(I+B) = I*I + I*B + B*I + B²
Et tu regardes ce que ça fait...
Et ensuite tu en déduis la récurrence demandée, en passant par A puissance n+1 = A * A puissance n pour prouver l'hérédité.
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