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Puissance d'une matrice

Posté par
Nalia 27-01-17 à 21:39

Bonsoir à tous, J'ai quelques difficultés sur la fin de l'exercice sur les suites géométriques. Voila l'exercice:
On considère la matrice M=1 0 1 1
                                                              1 0 0 1
                                                              0 1 1 0
                                                              0 1 0 0
1) Calculer  M^2, M^3 puis M^4
M^2 =1 2 2 1                   M^3= 3 3 3 3         M^4=6 6 6 6
               1 1 1 1                                 2 2 2 2                       4 4 4 4
               1 1 1 1                                 2 2 2 2                       4 4 4 4
               1 0 0 1                                 1 1 1 1                       2 2 2 2
M^3*2=M^4
2)On admet qu'il existe une suite numérique (an) telle que:
                   pour tout entier n(supérieur ou égal)3      M^n=an*M^3
Préciser la valeur de a3 et la valeur de a4
D'après la formule d'une suite géométrique on a: un= u0*q^n ce qui revient à dire que an= M^3*2^n
a3=M^3*2^3=24 24 24 24
                                 16 16 16 16
                                 16 16 16 16
                                  8     8    8    8  
a4=M^3*2^4=48 48 48 48
                                  32 32 32 32
                                  32 32 32 32
                                  16 16 16 16
3) En remarquant que M^n+1=M^n*M, établir une relation entre M^n+1 et M^3
J'ai essayer plusieurs choses mais je n'y suis pas arriver
4) a) Montrer que la suite (an) est géométrique et donner sa raison et son premier terme.
J'ai essayé comme ceci: M^n+1/M^n=M^n*M/M^3*2^n=M^n*M/(M*M^2)*2^n=M^n/ M^2*2^n=M/M^2*2^n=M/M*M*2^n=1/M*2^n
b)Déterminer l'expression de an en fonction de n
Je crois que s'est ce que j'ai fait précédemment:
an=M^3*2^n
5) En déduire, pour tout n (supérieur ou égal à) 3, l'expression de la matrice M^n  en fonction de la matrice M^3
Comme il y a beaucoup de question dont je n'ai pas répondu je pourrai être capable d'y répondre puisque je ne vois que faire.
Je remercierai tout aide donnée pour la compréhension de cet exercice et bien évidemment sa résolution. Merci à tous.

Posté par
Zormuchere : Puissance d'une matrice 27-01-17 à 22:13

Salut

2) an est un nombre, pas une matrice ! car (an) est une suite numérique, c'est dit dans l'énoncé

d'après l'énoncé, pour  n \ge 3 ,  on a  M^n~=~a_n\times M^3
On déduit les égalités suivantes :
M^3~=~a_3\times M^3
M^4~=~a_4\times M^3
Donc que valent a3 et a4 ?

3) M^{n+1}=M^n \times M~=~a_n \times M^3 \times M~=~ ??

Posté par
Naliare : Puissance d'une matrice 27-01-17 à 22:17

an*M^3*M*=an*M^4 est- ce cela

Posté par
Naliare : Puissance d'une matrice 27-01-17 à 22:20

Donc a3 vaut 1 et a4 vaut M

Posté par
Zormuchere : Puissance d'une matrice 27-01-17 à 23:06

non a4 vaut 2 ! regarde bien M^3 et M^4

Posté par
Naliare : Puissance d'une matrice 28-01-17 à 00:18

Parce que je dois multiplier par 2 pour passer de M^3 a M^4

Posté par
Naliare : Puissance d'une matrice 28-01-17 à 00:19

Mais ensuite vient le problème du 4)b) et du 5) que j'arrive toujours pas à résoudre

Posté par
fenamat84re : Puissance d'une matrice 28-01-17 à 00:58

Bonjour,

1) Les matrices M², M^3 et M^4 sont ok.
2) D'après la relation M^n=a_nM^3, on a donc :

M^3=a_3M^3 et M^4=a_4M^3

Et d'après la question 1, il est assez évident que a3 = 1 et a4 = 2.

3) On a donc la relation M^{n+1}=M^n*M
Or M^n=a_nM^3
Ainsi :

M^{n+1}=a_nM^3*M

4a) D'après la question précédente, on a alors :

M^{n+1}=a_nM^3*M=a_nM^4=2a_nM^3 (car M^4=2M^3)
=a_{n+1}M^3

Ainsi : a_{n+1}=2a_n

Ce qui montre bien que la suite (an) est une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme a3=1.

4b) Comme la suite (an) est géométrique, on a alors d'après le cours :
a_n=a_3*q^{n-3}=2^{n-3}.

5) On a donc ainsi :
M^n=a_nM^3=2^{n-3}*M^3.

Autrement dit, tu viens de démontrer que :

M^n=\begin{pmatrix}3*2^{n-3}&3*2^{n-3}&3*2^{n-3}&3*2^{n-3}\\2*2^{n-3}&2*2^{n-3}&2*2^{n-3}&2*2^{n-3}\\2*2^{n-3}&2*2^{n-3}&2*2^{n-3}&2*2^{n-3}\\2^{n-3}&2^{n-3}&2^{n-3}&2^{n-3}\end{pmatrix}

Posté par
Naliare : Puissance d'une matrice 28-01-17 à 10:04

Merci fenamat84 j'ai mieux compris

Posté par
fenamat84re : Puissance d'une matrice 28-01-17 à 11:08

Au plaisir.

Posté par
Naliare : Puissance d'une matrice 28-01-17 à 20:26

Vous pourrez juste m'expliquez le n-3, celui ci m'échappe

Posté par
fenamat84re : Puissance d'une matrice 29-01-17 à 00:17

D'après le cours, tu as généralement :

a_n=a_0*q^n

Or ici le premier terme est a3 !!

Donc tu obtiens : an=a3*qn-3


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