Bonjour,
J'ai un exercice qui m'a pris un bon moment, je voudrais savoir s'il existe des astuces, méthodes ou autre pour aller plus vite.

Voici l'énoncé :

Soit

Je dois exprimer en fonction en n, en distinguant les n pairs des n impairs.

Ne sachant pas comment faire directement, j'ai d'abord émis une conjecture que j'ai démontré avec un raisonnement par récurrence.
Voici donc ce que j'ai trouvé :





D'une part, j'aimerais savoir s'il n'y a pas de solution plus élégante que celle-ci () et d'autre part, comment fait-on en général pour déterminer la puissance n-ième d'une matrice en fonction de n ? Est-ce qu'on émet une conjecture et on la démontre, ou y a-t-il une autre méthode ? Parce que pour trouver cette solution, il m'a fallu énormément tâtonner.

Merci beaucoup d'avance !