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puissance de matrice

Posté par
bruno444 10-11-22 à 11:17

Bonjour,

Dans l'espace euclidien
Soit u un endormorphisme de E=R^3 de matrice dans la base canonique \varepsilon,
A = \begin{pmatrix}-1 & 4 & 2\\4 & -1 & -2\\2 & -2 & 2 \\ \end{pmatrix}

1)
trouver le polynome caractéristique de u, p(\lambda) = det(u - \lambda * id_E)
fait :
p(\lambda) = 42 - 5\lambda - \lambda^3
2)
vérifier que \lambda_1 = 3 est une valeur propre de u
trouver un base du sous espace propre E_1 associé à \lambda_1
Vérifier que E_2 = (E_1)^\perp est un sous espace propre

fait :
Le polynôme n'admet pas d'autre solution dans \mathbb{R}

la base de E_1 est \begin{pmatrix}1\\1 \\0 \end{pmatrix}
  E_2 = \begin{pmatrix}1\\-1 \\0 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix}0\\0 \\1\end{pmatrix} choisi pour que ce soit orthogonal à E_1
par contre, je ne vois pas comment vérifier que E_2 est un sous-espace propre
3)Trouver la matrice Q_1 dans la base canonique de \varepsilon de la projection orthogonale q_1sur E_1, puis la matrice Q_2 dans la base canonique de \varepsilon de la projection orthogonale q_2 sur E_2

fait

Q_1 = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2 & 0\\1/2 & 1/2 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} et Q_2 = \begin{pmatrix}1/2 & -1/2 & 0\\-1/2 & 1/2 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}


4) Soit un entier k. Déterminer A^k en fonction de Q_1 et Q_2
Je ne vois pas comment faire.
Je ne vois pas quelles propriétés de Q_1 et Q_2 me permettent de calculer A^k

Quelqu'un?

Posté par
verdurinre : puissance de matrice 10-11-22 à 19:03

Bonsoir,
si tu calcules U_1=A\cdot E_1 et U_2=A\cdot E_2 tu peux exprimer U_1 et U_2 comme combinaison linéaire de E_1 et E_2.
Ce qui prouve que \text{vect}(E_1\,;\, E_2) est un sous-espace propre.

Posté par
bruno444re : puissance de matrice 10-11-22 à 21:33

Bonsoir,
U_1 = 3E_1, 3 étant valeur propre,
Je ne trouve pas pour U_2. Comme il n'y a qu'une valeur propre je ne vois pas comment trouver un E_2 correct

Posté par
GBZMre : puissance de matrice 10-11-22 à 22:30

Bonsoir,
Tu t'es trompé dans le calcul du polynôme caractéristique, et aussi trompé dans le calcul du sous-espace propre associé à la valeur propre 3.
Reprends ça.

Posté par
bruno444re : puissance de matrice 11-11-22 à 02:10

Bonsoir GBZM,
Effectivement, je me suis trompé.

p(\lambda) = -\lambda^3 + 27\lambda -54 \\

et E_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}

du coup, j'ai calculé E_2 = \begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}

et les Q_1, Q_2 avec Gram-Schmidt pour orthonormaliser les vecteurs et la formule
pF(x) = $\sum <x, u>u

Q_1 =1/9\begin{pmatrix}5&4&2\\4&5&-2\\2&-2&8\end{pmatrix} et   Q_2 = 1/9\begin{pmatrix}4&-4&-2\\-4&4&2\\-2&2&1\end{pmatrix}

Pour la dernière question, je bloque toujours.
J'ai simplement remarqué que Q_1+Q_2=I

Posté par
GBZMre : puissance de matrice 11-11-22 à 09:53

Bonjour,
Tu confonds sous-espace vectoriel et base du sous-espace. Attention, ça risque de te jouer des tours. E_1 et E_2 sont des sous-espaces vectoriels, pas des vecteurs ou des listes de vecteurs !

Je ne sais pas si tu as vu la notion de polynôme annulateur et de polynôme minimal. Ça aurait pu grandement simplifier tes calculs.
D'abord, tu as remarqué après correction que 3 est valeur propre de multplicité au moins 2. Pour trouver la troisième valeur propre on peut utiliser que la trace est la somme des valeurs propres (comptées avec multiplicité). Comme la trace est 0, la troisième valeur propre est -6. Vu que A est diagonalisable, son polynôme minimal est (X-3)(X+6).   On obtient facilement une identité de Bézout entre les deux facteurs de ce polynôme minimal : 1= \dfrac19(X+6)-\dfrac19(X-3) et de là I_3=\dfrac19(A+6I_3) -\dfrac19(A-3I_3) avec Q_1=\dfrac19(A+6I_3) et Q_2=-\dfrac19(A-3I_3).
Quand on remarque après que Q_1+Q_2=I_3 et donc que A=AQ_1+AQ_2, que Q_i^2=Q_i (ce sont des projecteurs), que Q_1 et Q_2 commutent avec A, que AQ_1=3Q_1 et AQ_2=-6Q_2, le calcul de A^k se fait bien.

Posté par
GBZMre : puissance de matrice 11-11-22 à 10:00

Multipostage !
Ce n'est pas du tout bien vu !

Posté par
malou Webmasterre : puissance de matrice 11-11-22 à 11:05

bruno444,je vais te demander d'aller dire de l'autre côté que tu n'as plus besoin d'aide, car ici la discussion est plus avancée, et par respect vis à vis des aidants qui sont des bénévoles et non des machines
En attendant que tu le fasses, ton sujet est verrouillé
tu peux mettre un signalement (en bas de page), lorsque tu l'as fait, et les échanges pourront alors se poursuivre ici

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?


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