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Puissance rationnelle

Posté par
Mathes1 06-11-20 à 20:02

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1) montrer que pour tout x]0;1[ :
x^{\dfrac{6}{7}}>x
En déduire que pour tout (x;y)((*+)2:
\sqrt[7]{x^{6}}+\sqrt[7]{y^6}>\sqrt[7]{(x+y)^6}
Merci beaucoup d'avance
Pour la 1er question , est ce que je peux utiliser l'information x]0;1[<=>
0<x<1
Donc je prend x>0
Je ne sais pas comment faire une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Puissance rationnelle 06-11-20 à 20:10

salut

tu peux remarquer que la fonction x \mapsto x^7 est croissante (strictement) ...

évidemment qu'il faudra utiliser l'encadrement de x : comparer x^m et x^n lorsque m < n sur [0, 1]

Posté par
Mathes1re : Puissance rationnelle 06-11-20 à 20:44

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu

Citation :
comparer x^m et x^n lorsque m < n sur [0, 1]

C'est à dire que m=6 et n=7
\sqrt[7]{x^6}>0
Toujours je ne comprends pas
Malheureusement

Posté par
alb12re : Puissance rationnelle 06-11-20 à 20:51

salut,
par curiosite, connais tu la fonction ln ?

Posté par
Mathes1re : Puissance rationnelle 06-11-20 à 20:55

Bonjour
Je connais juste sont nom ; ln=fonction logarithme népérien seulement
Ses propriétés non pas du tout
Nous avons vu juste la continuité d'une fonction
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Puissance rationnelle 06-11-20 à 20:57

si 0 < x < 1 peux-tu comparer par exemple x^3 et x^5 ? x^8 et x ^12 ? et enfin x^6 et x^7 ?

Posté par
Mathes1re : Puissance rationnelle 06-11-20 à 21:00

D'accord
0<x<1 <=>0 <x6<1
<=>0 <x7<1
Tous les puissances de x sont comprise entre 0 et 1
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Puissance rationnelle 06-11-20 à 21:04

non !! tu ne compares rien du tout !!

si 0 < x < 1 alors 0 < x donc en multipliant par x on obtient 0 < x^2 < x < 1

...

Posté par
Mathes1re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 09:09

Bonjour
Merci beaucoup à vous !
x<1 <=> x⁷<x⁶<=> x^{\dfrac{7}{7}}<x^{\dfrac{6}{7}}
<=>x<x^{\dfrac{6}{7}}
Une petite indication s'il vous plaît pour la 2ème merci beaucoup d'avance

Posté par
Mathes1re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 09:16

D'accord , voici mon idée pour la 2ème
On a :\sqrt[7]{x^6}>x et \sqrt[7]{y^6}>y
Donc : \sqrt[7]{x^6}+\sqrt[7]{y^6}>x+y>(\sqrt[7]{x+y})^6
<=>  \sqrt[7]{x^6}+\sqrt[7]{y^6}>(\sqrt[7]{x+y})^6
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Puissance rationnelle 07-11-20 à 09:33

je ne vois pas trop le lien entre les deux questions puisqu'on travaille avec une condition sur x dans 1/ et ensuite x et y sont quelconques dans 2/

supposons que 0 < x < y (le cas x = y se traite facilement) et posons z = x/y alors :

x^{6/7} + y^{6/7} = y^{6/7}(1 + z^{6/7})

et

(x + y)^{6/7} = y^{6/7} (1 + z)^{6/7}

et cette fois 0 < z < 1 mais je ne vois pas comment comparer simplement 1 + z^(6/7) et (1 + z)^(6/7) ...

Posté par
alb12re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 09:45

salut,
si 0<X<1 alors X^(6/7)>X
si X>1 alors X^(6/7)<X

1+z^(6/7)>1+z>...

Posté par
Mathes1re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 09:59

Bonjour
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses !
La seconde question a dit Deduire donc il y a un lien entre les deux questions.
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 10:05

il me semble avoir termine la demo de carpediem

Posté par
carpediemre : Puissance rationnelle 07-11-20 à 10:09

alb12 : oui c'est ça je pense : il faut étendre le résultat de 1/ à R+ et distinguer les cas

Mathes1 : ben oui ce que j'ai écrit permet d'utiliser 1/ ... en étendant le résultat à R+... en distinguant les cas !!!

Posté par
alb12re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 10:13

je pense qu'il n'est pas utile de distinguer 2 cas
on peut supposer x<y sans restreindre la generalite

Posté par
carpediemre : Puissance rationnelle 07-11-20 à 10:55

quand je disais distingué deux cas je parlais de la question 1/ où on a aussi besoin du résultat pour x > 1  puisque 1 + z > 1 ...

Posté par
Mathes1re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 16:13

Bonjour à tous
Je ne comprends pas du tout votre message de 07-11-20 à 09:33
Et je ne comprends pas la notion "distingué deux cas"
Est ce que ma proposition est fausse ?
07-11-20 à 09:09 et 07-11-20 à 09:16
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 17:13

oui elle est fausse puisqu'on ne sait pas si x est entre 0 et 1
1/a/ si 0<X<=1 alors X^(6/7)>=X à demontrer (res1)
1/b/ si X>=1 alors X^(6/7)<=X à demontrer (res2)
2/
x^(6/7)+y^(6/7)>(x+y)^(6/7) equivaut à (x/y)^(6/7)+1>(x/y+1)^(6/7) en divisant par y^(6/7)
on peut supposer x<=y cad x/y<=1
(x/y)^(6/7)+1>=x/y+1 d'apres res1
essaie de finir

Posté par
Mathes1re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 22:27

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
Je ne sais pas le sens de "res1-res2"
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : Puissance rationnelle 07-11-20 à 22:41

resultat1 et resultat2 qu'on utilise dans la question 2


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