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Puissances de 2 et 5

Posté par
Imod
16-08-21 à 11:10

Bonjour à tous

Un petit exercice sans prétention

J'ai trouvé plusieurs valeurs de l'entier n pour lesquelles 2^n et 5^n commencent par le même chiffre en écriture décimale . C'est toujours le même

Amusez-vous bien

Imod

Posté par
dpi
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 12:52

Bonjour,

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Posté par
ty59847
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 13:16

La question qu'on peut avoir envie de traiter derrière ça, c'est 'quel sera le premier contre-exemple'. Comment le trouver, autrement que par un calcul systématique.
Ou encore,  quand on aura trouvé quelques centaines de milliers de cas où 2n et 5n commencent par le même chiffre, quel sera le chiffre en question, qui a le plus d'occurrences.
Théoriquement, ce sera le 1, puis le 2 ...

Posté par
dpi
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 15:11

C'est  de la simple curiosité en effet il y a peu de cas  pour lesquels
cette coïncidence est vraie.
En effet en observant n de 1 à 100 ,il n'y a que 4 cas.
Pour toutes les autres puissances ,aucune coïncidence.

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Posté par
Imod
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 15:37

Je suis presque sûr qu'il y a une infinité de valeurs de n qui conviennent

Imod

Posté par
dpi
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 15:38

Je n'ai pas pu aller au delà de n=500 mais on peut voir une certaine fréquence.
A l'exception du premier chiffre 3 aucun cas

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Posté par
Imod
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 15:46

Tu as sans doute raison mais sans preuve ...

Imod

Posté par
dpi
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 16:17

Comme il s'agit de pure curiosité,j'ai bidouillé jusqu'à n=1000 :
1/aucun autre premier chiffre que 3
2/toujours de belles séquences de 10 (particularité des puissances de 5 et de 2 )
3/aucune séquence finissant par 6..
Voici le tableau des n:

Puissances de 2 et 5

Posté par
ty59847
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 17:08

Oui !!!!!

On calcule  a=2^n, on calcule b=5^n . On regarde le premier chiffre de a et le premier chiffre de b.
Ces 2 chiffres ne sont pas indépendants du tout, contrairement à ce que je racontais avant.

On sait que ab=2^n  \times 5^n=10^n

Donc b= \dfrac{10^n}{a}

A un facteur 10^n près, b est l'inverse de a.

Donc si a commence par un 9, 8, 7 , 6 ou 5 , b commence forcément par un 1, si a commence par un 4, b commence par un 2, et le seul cas où a et b peuvent commencer par le même chiffre, c'est quand ils commencent par un 3.

Si on est plus exigeant et qu'on regarde les cas où ils commencent par les 2 mêmes chiffres, ils vont commencer tous les 2 par 31.  
C'est  le début de l'écriture de  \sqrt{10}

La seule exception, c'est pour n=0 ; dans ce cas 2^n=5^n=1.

Il n'y a aucun contre-exemple, à part n=0.

Posté par
Imod
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 17:27

C'est l'idée

J'étais passé par les logarithmes décimaux qui permettent au passage de caractériser plus simplement les n qui conviennent :

\text {Frac(n.log 2)} \in I et \text{Frac(n.log 5)} \in I avec I=]log 3 , log 4[ .

Imod

Posté par
ty59847
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 17:31

Il y a des cas avec n  fisnissant par 6 :
n=666,
676,
686,
696

1636,
1646,
1656,
1666

2606,
2616,
2626,
2636
...

Posté par
Imod
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 17:36

Je pense qu'il y a des solutions avec toute fin imaginable pour n .

Imod

Posté par
ty59847
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 18:16

Oui, c'est certain.
Ici, on a des groupes de 4, mais on peut aussi avoir des groupes de 5
Quand on passe de n=666 à n=676, n augmente de 10, 2^n est multiplié par 1024


2^666 = 30618....
2^676 = 31353...
2^686 = 32105....
2^696 = 32876....
2^686 = 33665.... non, on est au-dessus de 33333, donc l'inverse sera en-dessous de 3.

On n'a que 4 valeurs correctes dans cette série.
Mais c'est parce qu'on n'a pas eu de chance. En commençant avec 306 ... on gâche un peu d'espace. Si on tombe sur une série qui commence par 30011 par exemple, alors le 5ème terme sera en dessous de 33333 (on multiplie par 1.024 à chaque fois)

Exemple :
n=17166  2^n= 30262...
Et du coup, 17176, 17186, 17196 et 17206 sont également des solutions valides.

Posté par
dpi
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 18:47

j'avais sauté la séquence 666 676  686  696.
Avez-vous trouvé un autre premier chiffre que 3 ?

Posté par
ty59847
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 18:56

Non, et on a la certitude qu'on n'en trouvera pas. Il n'en existe pas.

Regarde mon message de 17h08.

Posté par
dpi
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 19:06

Merci.
Donc cette idée d'Imod  était intéressante...

Posté par
flight
re : Puissances de 2 et 5 16-08-21 à 22:32

salut

avec un esclave sauf erreur n=5,15,78,88,98,108,118,181,.....

Posté par
dpi
re : Puissances de 2 et 5 17-08-21 à 07:46

>flight

Tu as du voir ensuite le travail complet de ty59847
Pour ma part ,j'avais bidouillé sur Excel jusqu'à  n=1000.

Je profite de l'occasion pour te demander ton avis sur ma réponse
à ton dernier post "probabilités"

Posté par
LittleFox
re : Puissances de 2 et 5 17-08-21 à 10:18


ty59847
Astucieux cette idée d'inverse

Je m'étais perdu dans les parties entières d'expression contenant des logarithmes

J'ai trouvé un autre contre exemple que 1 pour n=0:
Pour tout n < 0, 2^n et 5^n commencent par 0

Posté par
Imod
re : Puissances de 2 et 5 17-08-21 à 11:15

On s'en sort avec les logarithmes si on fait les choses calmement :

Si k est le premier chiffre de 2^n et de 5^n alors :

\displaystyle{k.10^{\lfloor n.\log2\rfloor}\leq 2^n<(k+1).10^{\lfloor n.\log2\rfloor}}

\displaystyle{k.10^{\lfloor n.\log5\rfloor}\leq 5^n<(k+1).10^{\lfloor n.\log5\rfloor}}

En multipliant les deux encadrements on arrive à k=3 et on peut caractériser les n qui conviennent sans calculer les puissances  :

\log 3 < \{ n.\log 2\} < \log 4  et  \log 3 < \{ n.\log 5\} < \log 4 .

Les accolades représentant les parties décimales .

Imod

Posté par
LittleFox
re : Puissances de 2 et 5 17-08-21 à 11:58


Oui, vu comme ça, ça à l'air simple

J'avais pas pensé à multiplier les deux expressions. Du coup j'essayais de déterminer le premier digit de 5^n en fonction de n

Et ça n'a pas l'air du tout aléatoire: on a le pattern 2163173194 qui se répète mais tous les 10 pattern, les digits sont diminués de 1. Avec peut-être encore des changements tous les 100 cycles.

Voici les 10000 premiers digits des puissances de 5:

 Cliquez pour afficher

Posté par
ty59847
re : Puissances de 2 et 5 17-08-21 à 16:49

\log 3 \le {{ n \log 2 }} \le \log 4
et
\log 3 \le {{ n \log 5 }} \le \log 4

Oui, et on sait en plus que  \log 2 + \log 5 = 1

Posté par
Imod
re : Puissances de 2 et 5 17-08-21 à 18:04

Mais en général \{n\log 2 +n\log 5\}\neq \{n\log 2\} + \{n\log 5\}  

Imod

Posté par
Imod
re : Puissances de 2 et 5 17-08-21 à 18:47

Oui , je suis bête , \log 3 < \{n.\log2\}<1-\log3 .

Imod

Posté par
ty59847
re : Puissances de 2 et 5 17-08-21 à 22:11

On a en fait une seule équation.
Celle-ci, avec des logs.
Ou celle qu'on a déjà vue : pour quelle valeur de n a-t-on 2^n qui s'écrit sous la forme a.10^k avec a entre 3 et 3.33333...
Ou encore une autre : pour quelle valeur de n a-t-on 5^n qui s'écrit sous la forme a.10^k avec a entre 3 et 3.33333...



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