Merci d'animer,
Temps pluvieux favorable à la recherche

Bonjour Sylvieg,

  

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2)     ?

  3)       marche.

  4) Il semblerait (d'après l'OEIS) qu'on puisse obtenir une suite à partir de 76:

      

suite

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J'avais trouvé 376 et 625
en 4 chiffres bien sur  9376
en 5 chiffres  90625

Bonjour dpi,

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J'ai regardé les blankés

  Tes secondes solutions  5,25,625...s'obtiennent avec la suite définie par:

  

   et

Bonjour Sylvieg, merci pour la curiosité.

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On peut déjà dire que 0 et 1 seront toujours des solutions mais ils n'ont pas vraiment n digits. Pas très intéressant.

Soit le nombre de digits, on cherche les tels que .
On peut voir que si est une solution alors l'est aussi. En effet

En parcourant la liste des premiers résultats on voit qu'on peut construire à partir de :

n   a
1  0  1        5        6
2  0  1       25       76
3  0  1      625      376
4  0  1     0625     9376
5  0  1    90625    09376
6  0  1   890625   109376
7  0  1  2890625  7109376

Mettons ça en équations :

On sait que et que donc Or

Et au final
Avec

Et donc il y aura toujours (au moins?) 4 solutions mais parfois sera et ce ne sera pas une vraie solution avec n chiffres. Par contre si   et que donc alors sera une solution valide. On aura donc toujours au moins une solution avec n chiffres.

La série des chiffres pour est:
...0197061490109937833490419136188999442576576769103890995893380022607743740081787109376
et pour :
...9802938509890062166509580863811000557423423230896109004106619977392256259918212890625

Pour n = 10 on a les solutions :
0000000000
0000000001
8212890625
1787109376

Bonsoir,
Bravo à tous pour la réactivité
Météo pas vraiment pluvieuse dans ma région, d'où ma réponse tardive.
Toutes vos réponses sont intéressantes.

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Je vais essayer de comprendre les suites données par lake. Elles répondent bien à ma préoccupation de trouver une méthode autre que d'essayer lourdement de rajouter à gauche les chiffres de 1 à 9.
Les séries de LittleFox sont remarquables, en particulier la seconde avec ses trois zéros consécutifs ! Merci pour le recopiage.
Le petit programme que j'ai utilisé envisage bien jusque 3 zéros. Mais je pensais que c'était une précaution superflue.

Un dernier mot; pas vraiment un scoop:

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Les deux suites et définies par:

  

  

sont telles que (un répunit)

@lake et LittleFox,

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Je n'aurai pas le temps de regarder en détail vos réponse avant un moment. Mais je pense qu'il y a un lien entre ton dernier message, lake, et ce que l'on voit sur tes deux séries de chiffres, LittleFox, à savoir que verticalement la somme est toujours 9 sauf pour 6+5 du départ.
Et je n'avais pas vu cette évidence avec mes entiers de 10 chiffres

Bonjour Sylvieg,

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Je me suis grossièrement trompé:

  

Salut

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Oui, je l'avais déjà indiqué sous la forme

Citation :
On puet voir que si est une solution alors l'est aussi.

Avec une petite preuve

Mais j'avoue j'ai écris beaucoup . Faut dire que c'est un sujet intéressant .

Je n'ai pas prouvé que c'était les seules 4 séries possibles mais je pense qu'il n'est pas difficile de prouver que si est solution pour alors est solution pour .

On a

Et donc ces 4 séries sont les seules possibles puisque seuls 0,1,5 et 6 sont solutions de .

Voilà je pense avoir fait le tour

Bonjour à tous,

c'est un problème classique que l'on énonce habituellement sous la forme:
trouver les entiers à n chiffres tels que se termine par .
On parle de nombres automorphes .

Merci jandri pour le vocabulaire et le site
Je me disais que ça pouvait être un classique, mais je n'avais rien trouvé d'autre que le très incomplet

Bonjour,
Pour ceux qui voudraient chercher sans regarder les blankés précédents, voici quelques pistes.
Pour un entier naturel a , on note (E) la propriété «L'écriture en base 10 des puissances de a se termine par l'écriture en base 10 de a »

Et on note n le nombre de chiffres de a , avec n >= 1 .

Histoire de ne pas confondre a avec n .

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L'entier a vérifie (E) si et seulement si a(a-1) est un multiple de 10ⁿ .

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Si l'entier a vérifie (E) alors le produit a(a-1) est un multiple de 5 ; un des deux entiers a ou a-1 est donc un multiple de 5. Le chiffre des unités de a est donc 0, 1, 5 ou 6.

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Si l'entier a vérifie (E), toutes les parties droites de a vérifient (E) .
Plus précis : Avec kk vérifie (E).
Il y a peut-être un mot pour désigner r ?
Les solutions pour n+1 sont donc à chercher en rajoutant un chiffre a gauche des solutions pour n .
Attention au perfide 0 …

@lake,

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J'ai fini par comprendre la récurrence pour

, et

Je pense qu'il faut rajouter a_n 5 [10] à .

Mais finalement, il est plus simple de démontrer la récurrence pour

, et

Puis d'utiliser la propriété "de LittleFox" : Si a est automorphe alors 10ⁿ+1-a l'est aussi.

Il me reste à lire en détail le message de LittleFox.

@lake et LittleFox,

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J'essaye de faire le lien entre les suites de lake et la mise en équation pour trouver b de LittleFox :
b est le chiffre à rajouter à gauche de a_n pour trouver a_n+1 .
Hélas, je n'avais pas réussi à trouver d'autre méthode pour déterminer b que tester les chiffres de 0 à 9

Si on part de 5 , a_n+1 - a_n a_n(a_n-1) [10ⁿ⁺¹] .
Ce qui correspond à b a(a-1)/10ⁿ [10] .
Et revient à prendre le chiffre des unités de a(a-1)/10ⁿ pour b .

Si on part de 6 , a_n+1 - a_n a_n(1-a_n) [10ⁿ⁺¹] .
Ce qui correspond à b - a(a-1)/10ⁿ [10] .
Et revient à prendre 10 - le chiffre des unités de a(a-1)/10ⁿ pour b .

Sauf erreur...

@Sylvieg

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Correct

Pour aller plus loin,
Quand ,

Et quand ,


C'est les deux formules récursives de lake.

D'où la formule close qui est calculable en utilisant l'exponentiation modulaire.

Pour la seconde formule close , je n'ai pas encore compris comment la déduire, mais elle marche.

@LittleFox et lake,

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Ce ne serait pas plutôt au lieu de ?
Pour le démontrer, il faudrait (a_n)⁵ 2a_n-a_n² [10ⁿ⁺¹] .
Or x⁵+x²-2x = x(x-1)(x³+x²+x+2) .
Et a_n(a_n-1) est un multiple de 10ⁿ alors que a_n³+a_n²+a_n+2 6+6+6+2 [10]

@Sylvieg

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Bonne remarque, le site de l'oeis donne mais je ne sais pas pourquoi. J'ai testé et il n'y a aucun problème pour les 1000 premiers termes avec .

Et ta preuve est magnifique , faudra prévenir l'oeis

@LittleFox,

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Magnifique, n'exagérons pas. Mais le 6+6+6+2 m'a bien plu.

J'en rajoute une couche dans le même style :
Même si l'une est moins encombrante que l'autre, les deux formules et conviennent.
On peut démontrer par récurrence que est divisible par 10ⁿ⁺¹ .
En posant et on a
A⁵ - B⁵ = (A-B)(A⁴+A³B+A²B²+AB³+B⁴)
Chaque terme du second facteur est congru à 6 modulo 10 ; et il y a 5 termes...

La formule de l'OEIS simplifiée par Sylvieg est belle mais elle n'est pas performante pour un calcul numérique.

Il existe une formule très performante qui permet le calcul de pour en moins d'une minute sur un ordinateur récent:

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(même formule pour en partant de )

Programme python:
a=6
n=10
for k in range(20):
n=n*n
a=a*a*(3-2*a)%n

Géniale la formule
Je suis allée jusque a₁₂₈ avec une vieille TI89 en un tournemain !

Ça n'a rien à voir et c'est du réchauffé, mais il y a une petite coquille dans mon message du 15 à14h15 :

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Citation :
J'ai fini par comprendre la récurrence pour

, et

Je pense qu'il faut rajouter a_n 5 [10] à .

C'est a_n 6 [10]

Bonjour,

Une petite question toute bête mais qui a un rapport avec la formule géniale donnée par jandri :
Peut-on déterminer et tels que a²(a+)-1 soit factorisable par (a-1)² ?

Bonjour,
@LittleFox,

Citation :
faudra prévenir l'oeis

Bonjour Sylvieg,

Ce n'est pas moi qui ai trouvé cette formule qui donne en fonction de .
D'après mes notes je crois l'avoir vue pour la première fois en 2009 sur le site de mathafou: .
On pourrait lui demander d'où il la tient.

Je répond avec un peu de retard à ta question posée le 17/02:
Pour et on a .
Pour l'obtenir on écrit que les deux premières dérivées par rapport à s'annulent pour .

Oui, avec b = 3a²-2a³ , on a b multiple de a² et b-1 multiple de (a-1)².
C'est ce qui permet de justifier la formule a_2n = 3a_n² - 2a_n³ .

Merci mathafou pour ta réponse
J'ai suivi tes conseils subliminaux de recherche et ai trouvé la formule dans
C'est en fait le site indiqué par jandri le 15/02. Mais la formule, qui y figure dès le début, m'avait alors échappée.
Le site en anglais est intéressant aussi :

On est loin du début ....et de ma modeste réponse du 14/02

Bonjour Sylvieg,

puisque c'est toi qui as remarqué que la formule ne figure pas sur la page de l'OEIS et que tu leur as déjà signalé une nouvelle formule, peux-tu te charger de signaler également cette formule en renvoyant à la page de wikipedia?