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Puissances de sommes. . .

Posté par
interpol 07-04-18 à 11:54

Bonjour,

J'ai remarqué la chose suivante: lorsque j'écris un nombre complexe ,j racine 3e de l'unité sous la forme $z=a+bj+cj^2$ (1)( cette écriture n'est pas unique )

$z^2=(a^2+2bc)+(c^2+2ab)j+(b^2+2ac)j^2$ (2) une écriture possible
nous obtenons somme des coefficients de (2) égale au carré de la somme des coefficients de (1)

cela se généralise à toute puissance entière n,il existe une décomposition:

$(a+bj+cj^2)^n =a_n+b_n j+c_n j^2|a_n+b_n+c_n=(a+b+c)^n$

Qu'en pensez-vous et surtout comment l'expliquez-vous?

Alain

Posté par re : Puissances de sommes. . . 07-04-18 à 14:27

Bonjour,
Quelle est vraiment la question, une démonstration ou autre chose ?
Pour démontrer, une récurrence fait l'affaire.

Posté par re : Puissances de sommes. . . 07-04-18 à 14:31

salut

formellement soit x une indéterminée sur le corps k tel que x^3 = 1 (neutre multiplicatif de k)

soit $y = a + bx + cx^2$ alors $y^2 = ...$

en fait un anneau commutatif unitaire suffit ...

et tout est démontré ...

Posté par re : Puissances de sommes. . . 07-04-18 à 18:20

Bonjour,

Merci d'avoir répondu à ma question.

J'aurais pu précisé $a,b,c,a_n,b_n,c_n \in R$

Je voyais autre chose ,la somme des coefficients de $f(x)=a+bx+cx^2$ est égale à f(1) celle de $f(x)^n$ $=f(1)^n$
mais est-ce suffisant?

Alain

Posté par re : Puissances de sommes. . . 07-04-18 à 19:04

le pb n'est pas que ce soit suffisant ... il faut le prouver ...

Posté par re : Puissances de sommes. . . 08-04-18 à 10:03

Bon dimanche,

J'ai montré que pour les 1 ères puissances cela était vérifié,comme l'a suggéré *Sylvieg*  il faudrait utiliser au-delà la récurrence .

Quid d'une partition ternaire de $f(x)=(a+bx+cx^2)^n$   pour
séparer les puissances $x^{3p},x^{3p+1},x^{3p+2}$   ?

Alain