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pyramide

Posté par dununfolette (invité) 22-02-05 à 08:13

bonjour
je bug encore et toujours...(mais pourquoi ai-je pris S?)

On considère une pyramide SABC dont la base ABC est un triangle équilatéral dont on note O le centre du cercle circonscrit. On suppose que SA=SB=SC=4 et on note AB=BC=CA=x.
On note C' le milieu de [AB].
1)a) En calculant de deux façons SA²-SB², retrouver le fait que \vet{AB} et \vec{SC'} sont orthogonaux.
  b) En déduire que \vec{SO} est orthogonal au plan (ABC).
  c) Exprimer la hauteur h de la pyramide relative à la face ABC en fonction de x.
2)Montrer que le volume de la pyramide est V(x)=\frac{1}{12}x^2\sqrt{48-x^2}.

1)a)Si SAC' est rectangle en C', donc ABC' est rectangle en C'. Je peux dire :
SC'^2=SA^2+(\frac{AB}{2})^2=SA^2+\frac{AB^2}{4}
SC'^2=SB^2+(\frac{BA}{2})^2=SB^2+\frac{AB^2}{4}
donc si je sousrtais ces deux équations j'ai :
SC'^2-SC'^2=(SA^2+\frac{AB^2}{5})-(SB^2+\frac{AB^2}{4}
d'où SA^2-SB^2=0
et
toujours si ces deux triangles sont réctangles en C':
\{{ SA^2=SC'^2-AC'^2\atop\ SB^2=SC'^2-BC'^2}\
SA^2-SB^2=(SC'^2-AC'^2)-(SC'^2-BC'^2)
SA^2-SB^2=-AC'^2+BC'^2
sachant que C' est le milieu de [AB] on a AC'=BC'
d'où
SA^2-SB^2=0
je vois po comment faire autrement...
et alors la suite je suis complètement larguée !
au secours !
un grand merci à celui ou celle qui m'aidera

Posté par minotaure (invité)re : pyramide 22-02-05 à 09:20

salut
pour 1a).
je pense que ce que tu as ecris est certainement juste (j'ai pas verifie) mais je ne pense pas que c'est ce qu'on te demande.
en effet on sait que SA=SB (enonce)
de ce fait SA²-SB²=0.
j'en est deduis cela sans utiliser ton raisonnement.

voila pour la premiere facon.

la deuxieme.que faut il montrer ?
deux vecteurs orthogonaux.
le produit scalaire est un bon moyen de demontrer ca.
en plus SA²=vecteur(SA).vecteur(SA)
et SB²=vecteur(SB).vecteur(SB)
donc SA²-SB²=[vecteur(SA)+vecteur(SB)].[vecteur(SA)-vecteur(SB)]

C milieu de [AB] => vecteur(SA)+vecteur(SB)=2*vecteur(SC)
vecteur(SA)-vecteur(SB)=vecteur(SA)+vecteur(BS)=vecteur(BA)=-vecteur(AB)

donc SA²-SB²=-2*vecteur(AB).vecteur(SC)

comme SA²-SB²=0
on a -2*vecteur(AB).vecteur(SC)=0
donc vecteur(AB).vecteur(SC)=0
aucun de ces 2 vecteurs est nul donc vecteur(AB) orthogonal a vecteur (SC)

Posté par minotaure (invité)re : pyramide 22-02-05 à 09:27

zut c'est pas C milieu de [AB] mais C'.

C' milieu de [AB] => vecteur(SA)+vecteur(SB)=2*vecteur(SC')
vecteur(SA)-vecteur(SB)=vecteur(SA)+vecteur(BS)=vecteur(BA)=-vecteur(AB)

donc SA²-SB²=-2*vecteur(AB).vecteur(SC')

comme SA²-SB²=0
on a -2*vecteur(AB).vecteur(SC')=0
donc vecteur(AB).vecteur(SC')=0
aucun de ces 2 vecteurs est nul donc vecteur(AB) orthogonal a vecteur (SC')

desole pour l'oubli du '.

Posté par minotaure (invité)re : pyramide 22-02-05 à 09:43

pour la 1b)

on a :
vecteur(AB).vecteur(SC')=0

vecteur(SC')=vecteur(SO)+vecteur(OC')

donc vecteur(AB).[vecteur(SO)+vecteur(OC')]=0
donc vecteur(AB).vecteur(SO)+vecteur(AB).vecteur(OC')=0

O est le centre du cercle circonscrit donc vecteur(AB) et vecteur(OC') sont orthogonaux.

donc vecteur(AB).vecteur(OC')=0
donc 0=vecteur(AB).vecteur(SO)+vecteur(AB).vecteur(OC')=vecteur(AB).vecteur(SO)+0=vecteur(AB).vecteur(SO)

donc vecteur(AB) et vecteur(SO) sont orthogonaux.

par un raisonnement identique applique au vecteur(BC) et au milieu de [BC](appelons le A') on montre que vecteur (BC) et vecteur(SO) sont orthogonaux.

pourquoi tout ca ?
vecteur(AB) et vecteur(SO) sont orthogonaux
donc (AB) et (SO) sont orthogonales.

vecteur (BC) et vecteur(SO) sont orthogonaux
donc (BC) et (SO) sont orthogonales.

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

dans notre plan (ABC) on a deux droites (BC) et (AB) secantes qui sont orthogonales a (SO).
donc (SO) orthogonale au plan (ABC)

donc vecteur (SO) orthogonal au plan (ABC).

c) j'ai pas fait mais je pense qu'il faut utiliser le theoreme de Pythoagore. (je te laisse faire)

2) la formule du volume d'une pyramide a ete vue en 3°
c'est V=h*S/3 ou S est l'aire de la base.
comme notre base est un triangle equilateral on a :
S=AB*CC'/2
la aussi pour calculer CC' , thoereme de Pythagore.

voila je te laisse finir.

ps. ne te laisse pas abattre, tu verras ca viendra.
(les maths c'est pas inne et tout le monde a ou a eu des difficultes)
l'important est que tu perseveres.
a+

Posté par dununfolette (invité)re : pyramide 22-02-05 à 10:05

merci beaucoup ! et merci pour ton encouragement !
c'est vrai que j'ai du mal...surtout que je prend mes cours par correspondance
je pense que maintenant je vais pouvoir finir c'ette interro
merci beaucoup :)


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