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qqes questions d algèbre 
Salut à tous, voilà je potasse un peu mes maths et parfois quelques interrogations m'apparaissent
C'est notamment le cas dans l'exercice suivant :
A toute fonction polynomiale P de , on associe la fonction
définie sur [0,1] par :
1/
a) RAppeler pourquoi la famille est une base de
.
b) Calculer, pour l'image de
c) Montrer que l'application définit une application linéaire de
dans
.
Et puis la suite viendra peut-être après lol 
ALors voilà pour la question a) aucun problème, B est une famile échelonnée en degré et donnent que B est une base.
Pour la seconde question non plus pas de problème, en posant , on obtient que
Pour la question c, je vois comment résoudre le problème de la linéarité, mais dejà j'ai un petit soucis, parce que la fonction intégrée, n'est pas continue en 1 donc l'intégrale est impropre, alors je me demandais si l'on pouvait utiliser les relations de linéairité(chasles etc...) sans avoir la convergence de l'intégrale?
Ensuite pour montrer que estune endomorphisme, je ne vois pas comment faire.
PS : Pour montrer que est un endormophisme on doit montrer que
est linéaire et que l'image appartient a
. Comment appelle-t-on cette deuxième propriété? La stabilité?
Merci de votre aide 
bouh, il est tard...
1) si tu n'as pas la convergence de l'integrale, tu n'as pas le droit de faire de calculs... Prouve d'abord la convergence...
2) une fois la convergence prouvee, tu as le droit d'utiliser les proprietes de linearite de l'integrale a condition que chacune des integrales que tu vas faire apparaitre soit convergente....
exemple:
est bien convergente, pourtant je ne me risquerais pas a la scinder en deux integrales de exp(x)/x et 1/x....
Dans ton cas, c'est simple, tu as deja calcule (et donc montre la convergence...) l'image d'une base de Rn. On peut donc utiliser la linearite. Et on voit facilement aussi que l'image d'un polynome est un polynome...
Bonjour Mayo;
pour la convergence de l'intégrale pas de problème puisque:
est équivalent en
à
qui est intégrable sur [0,1](on en connait mm une primitive)
pour la question de la stabilité (comme tu l'as appelée) tu prends un polynome P de degré n comme tu as montré que était une base de
tu peux écrire
et puis par linéarité de
on a
Bonjour,
il y'aurait normalement un problème de convergence mais puisqu'on te demande préalablement de montrer que B est une base, l'idée est de voir que tu peux décomposer tout polynôme P selon cette base.
Tes singularités vont être enlevables, et donc ta fonction se prolonge par continuité et ton intégrale impropre n'en est une que si la projection sur les constantes est non nulle.
Dans ce cas, tu as juste à remarquer que converge (Riemann).
En fait le seul problème peut apparaitre si dans la décomposition de ton polynôme comme somme d'éléments de B, il y'a un coefficient non nul devant le vecteur 1. Et on vient de montrer que ce n'en était pas un.
Dans les autres cas, ton intégrale n'est pas impropre.
A+
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