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Qu'est ce que l'unicité d'une suite ?
Bonjour,
Je m'adresse à vous pour vous demandez d'éclaircir un point de mon cours que je n'ai pas très bien compris : l'unicité de la suite. Tout d'abord qu'est ce que l'unicité, son intérêt et quand faut il l'utiliser ?
Merci d'avance pour vos réponses.
Bonjour.
Il me semble que tu parles d'unicité d'une suite définie par récurrence. En effet, on sait qu'une suite définie par récurrence est déterminée de manière unique si l'on connaît son premier terme et la relation de récurrence qui la définissent.
En effet, supposons une suite u définie par :
u(0) = L et u(n+1) = f( u(n) )
Alors, puisque pour tout n, l'image de u(n) par f est déterminée de manière unique, par définition d'une fonction, alors on a bien une suite déterminée de manière unique.
Ah.
Oui eh bien l'unicité de la limite c'est la propriété selon laquelle une suite ne peut posséder qu'une seule limite au maximum.
Donc une suite a soit aucune limite, soit une seule limite.
L'intérêt est de dire que lorsqu'on arrive à montrer que u a deux limites l et l', alors par unicité de la limite : l=l'.
Ou alors cela peut servir pour faire un raisonnement par l'absurde, par exemple on peut supposer une propriété vraie, et en déduire que si elle est vraie cela implique qu'une certaine suite a deux limites distinctes, ce qui est absurde, et donc cela prouve que la propriété qui était supposée vraie est en fait fausse.
1)
Deux suites et
sont égales
si pour tout on a:
2)
Suivant la définition qu'on a de la limite d'une suite, il peut ne pas être immédiat que cette limite
soit unique.
Le programme de terminale S stipule que la définition qui doit être utilisée pour définir la limite d'une suite est:
Pour exprimer que tend
lorsque
tend vers
, on dit que:
"Tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs
à partir d'un certain rang."
Avec une telle définition il n'est pas immédiat qu'une suite convergente a une unique limite.
On pourrait s'en sortir quand même avec la définition de terminale.
"Tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs Un à partir d'un certain rang."
Soient L et L' deux limites de la suite U. Supposons par l'absurde qu'elles sont différentes.
Notons d la moitié de la distante entre L et L', c'est-à-dire d=|L-L'|/2.
Alors en prenant I l'intervalle ouvert de centre L et de rayon d, c'est-à-dire I=]L-d;L+d[, alors I est bien un intervalle ouvert contenant L, et donc contient toutes les valeurs de Un à partir d'un certain rang N.
Considérons maintenant I' l'intervalle ouvert de centre L et de rayon d, c'est-à-dire I'=]L'-d;L'+d[, alors I' est un intervalle ouvert contenant L', donc par définition de la limite, il contient toutes les valeurs de Un à partir d'un certain rang N'.
Remarquons que les intervalles I et I' ainsi construits sont tels que I
I'=
, c'est-à-dire que I et I' sont disjoints.
Notons M un nombre supérieur à N et N'. Par exemple, M=N+N'.
Alors à partir du rang M, on a toutes les valeurs de Un comprises dans l'intervalle I, et toutes les valeurs de Un comprises dans l'intervalle I', ce qui est impossible car les intervalles sont disjoints.
Donc ce raisonnement par l'absurde montre que si L et L' sont deux limites de U, alors on a nécessairement L=L'.
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