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Niveau Maths sup
Quadrilatère, triangles, segments orthogonaux...
Posté par Didou46 (invité)
Bonjour,
J'aimerais savoir si quelqu'un pourrais me donner quelques pistes de départ pour cet exercice que je ne sais pas comment démarrer :
Soit ABCD un quadrilatère. On construit les triangles rectangles isocèles de sens direct A'BA, B'CB, C'DC, D'AD (les sommets en A', B', C', D').
Montrer que les segments [A'C'] et [B'D'] sont orthogonaux et de même longueur.
Merci d'avance.
Posté par Didou46 (invité)re : Quadrilatère, triangles, segments orthogonaux...
J'ai eu des idées :
Soient a,b,c,d,a',b',c',d' les affixes respectives de A,B,C,...D'.
A'BA est isocèle de sens direct ssi A=Rot(A, 
/3)(B) équivaut à a-a'=ei(/3)(b-a')
Je pense qu'il faut arriver à la conclusion |c'-a'|=|d'-b'| et arg(vecteur A'C', vecteur B'D')=/2 [2]
Merci je suis encore bloquée..
Bonjour Didou46,
Soit 0 l'affixe de A, 2a l'affixe du vecteur AB, 2b celle de BC, 2c celle de CD et 2d celle de DA.
Les affixes de A, B, C, D sont donc respectivement 0, 2a, 2a + 2b, 2a + 2b + 2c, et on doit avoir a + b + c + d = 0.
L'affixe de A' est a + ia, celle de B' est 2a + b + ib, celle de C' : 2a + 2b + c + ic et celle de D': 2a + 2b + 2c + d + id.
L'affixe de A'C' est a + 2b + c + ic - ia, celle de B'D' est b + 2c + d + id - ib.
On veut A'C' = iB'D'.
Calculons l'affixe de A'C' - iB'D':
a + 2b + c + ic - ia - i(b + 2c + d + id - ib) = a + 2b + c - b + d - i(b + 2c + d + a - c) = (a + b + c + d)(1 - i) = 0
Cordialement
Frenicle