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Posté par
Imod
re : Quadrillages superposés 14-11-20 à 19:22

Un petit correctif et complément à mon tableau :

Quadrillages superposés

Au passage des nœuds par une translation suivant la direction du deuxième quadrillage , quatre pièces disparaissent pour chaque cellule : quelles sont leurs natures ?

Imod    

Posté par
Imod
re : Quadrillages superposés 17-11-20 à 19:50

Rebonjour

J'ai proposé il y a quelques temps le changement de variable â=2.atan(x) avec x=a/b pour deux quadrillages symétriques par rapport à un axe passant par (b,0) et (0,a) avec a<b de parités différentes et premiers entre eux . L'idée est de réinvestir les résultats du cas générique dans le cas discret où deux quadrillages partagent deux nœuds .

Pour le cas discret toutes les cellules pavantes ( de a²+b² cases ) sont identiques et doivent donc réaliser les moyennes déjà calculées à condition d'appliquer un correctif au niveau des nœuds communs .

De plus dans chaque cellule le nombre de polygones de chaque sorte est entier .

Les traductions que j'ai faites pour le nombre de polygones par carré unité sont en accord avec les résultats de GBZM .

Triangles : \frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}

Quadrilatères : \frac{4(1-2x+6x^3-x^4)}{(1+x^2)^2}

Pentagones : \frac{16x^2(1-x)^2}{(1+x^2)^2}

Hexagones : \frac{(1-x)(1-2x+6x^3-x^4)}{(1+x)(1+x^2)}

Heptagones : \frac{4x^3(1-x)^3}{(1+x)(1+x^2)^2}

Octogones : \frac{4x^2(1-x)^2}{(1+x)(1+x^2)}

Tout celà est loin d'être fini

Imod




  

Posté par
Imod
re : Quadrillages superposés 18-11-20 à 12:15

J'ai compté ( à la main ) les valeurs des deux lignes suivantes du tableau :

Quadrillages superposés

Ces deux résultats n'infirment pas la formule que j'ai donnée depuis un moment : le nombre de polygones par cellule est 4b(a+b)-3 .

Après il y faut trouver la répartitions des différents polygones . Je ne suis pas sûr qu'on puisse les gérer indépendamment les uns des autres mais j'ai regardé uniquement les triangles . Le peu de lignes remplies ne permet pas vraiment d'émettre des conjectures sérieuses mais certaines choses apparaissent .

Le résultat attendu du nombre de triangles dans chaque cellule est  \frac{8ab(b^2-a^2)}{a^2+b^2} . On le multiplie par a²+b² pour le rendre entier et on le compare au nombre réel de triangles ayant subit la même opération . Voilà le delta pour les premières valeurs de a et b :

(1,2) -> 8
(2,3) -> 32
(1,4) -> 72
(3,4) -> 72
(2,5) -> 27 .

A suivre ...

Imod


Posté par
Imod
re : Quadrillages superposés 18-11-20 à 19:24

J'ai regardé ce qui se passait pour les quadrilatères et les pentagones :

abtriaquadpent
1281616
23326464
1472144144
3472144144
2527112141


Les colonnes donnent le différentiel entre le cas générique et celui qui est réalisé ( toujours par cellule et multiplié par a²+b² ) .

Il y a une cohérence dans les premières lignes que met en cause la dernière , mais j'ai pu me tromper dans mes comptes . Sinon c'est que c'est plus compliqué

Imod

Posté par
derny
re : Quadrillages superposés 19-11-20 à 22:13

Bonsoir
le tableau des 36 régions complété

Quadrillages superposés

Posté par
Imod
re : Quadrillages superposés 20-11-20 à 10:09

On retrouve bien dans ce tableau les 8 parts différentes de la zone grise de GBZM .

Il me semble d'ailleurs qu'on voit mieux le partage en coupant l'octogone en 8 morceaux :

Quadrillages superposés

Imod

Posté par
derny
re : Quadrillages superposés 21-11-20 à 22:31

Bonsoir
Pour calculer d'une façon simple (sans passer par les intégrales) le nombre moyen de régions par carré unité j'ai construit un tableau Excel pour calculer, dixième de degré par dixième de degré (de 0 à 45 degrés) la surface de chacune des 36 régions, puis leur moyenne. En vérification, la somme des moyennes fait exactement 1. Ensuite je calcule le nombre moyen de régions pour un carré unité. J'arrive à 4.5204 environ. Pas loin mais pas vraiment le même résultat des illustres participants à cette énigme qui arrivent à 4.5465.
Cependant le nombre de régions ne donnent pas la surface moyenne contrairement à ce que j'avais écrit sans trop y réfléchir ce que m'avait fait remarquer LittleFox.

Posté par
derny
re : Quadrillages superposés 24-11-20 à 17:55

Bonsoir
J'ai traduit en pourcentages les valeurs trouvées par GBZM le 9/11 pour les différents types de polygones.
triangles 28% environ, quadrilatères 56.01% environ, pentagones 7.93% environ, hexagones 5.775% environ, heptagones 0.5935% environ et octogones 1.686% environ.
Mon tableur me donne des valeurs légèrement différentes soit respectivement 28.21, 55.68, 7.93, 5.81, 0.598 et 1.699.

Posté par
Imod
re : Quadrillages superposés 26-11-20 à 17:30

Bonsoir Derny

Je ne réponds pas forcément à tous tes messages mais je les lis attentivement

Pour moi le cas "générique" est réglé , il reste bien quelques calculs que GBZM a laissé au lecteur mais la façon de les réaliser est claire . D'un autre côté je comprends tout à fait que tu aies envie de retrouver les résultats avec tes propres méthodes ( je procède exactement de la même façon ) .

Le cas des quadrillages partageant deux nœuds reste encore largement ouvert mais je vais le laisser reposer un moment car je sature un peu .

Je reviendrais bien sûr avec plaisir si j'ai du neuf ou si quelqu'un apporte de nouveaux éléments .

Imod

PS : on comprend pourquoi on a du mal à croire à l'existence des heptagones quand on voit le faible pourcentage d'apparition

Imod  

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