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Quantificateur et démonstration par récurence

Posté par
Aite33 05-09-19 à 20:59

Bonsoir, j'aimerais revoir et terminer un exercice avec vous afin de bien assimiler les notions vu en classe. Voici l'énoncé:

Soit P la proposition pour tout n\in N^* <<la somme des n premiers nombres impairs est égal à n^2>>.

1) Ecrire P à l'aide de quantificateurs et du symbole \sum{}
.
2) Démontrez que P est vrai par récurrence puis par calcul direct

Voici mes réponses:

1) Pour tout n\in N^*, \sum_{k=0}^{n-1}{(2k+1)}=n^2 (corrigé aussi en classe).

A on mis n-1 sur les bornes supérieurs du sigma afin de caractériser les n premiers nombres ?

2) Je me heurte à un petit soucis lorsque je tente de faire l'initialisation dans la formule de récurrence. en initialisation, je dois  d'abord calculer p(0). Seulement, si on procède ainsi, on obtient une somme allant de k=0 à -2. En soit, ce genre de somme est une soustraction mais je ne sais pas si on a le droit d'écrire sigma tel que:
\sum_{k=0}^{-2}{(2k+1)}=n^2.

Avez vous une suggestion ?

Merci d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quantificateur et démonstration par récurence 05-09-19 à 21:05

Bonsoir,
Pour ta première question en raport avec 1) :
0,1,2,3 sont les 4 premiers entiers naturels.
0,1,2,...,n-1 sont les n premiers entiers naturels.

Pour la seconde en rapport avec 2) :
Quel est le plus petit élément de * ?

Posté par
Aite33re : Quantificateur et démonstration par récurence 05-09-19 à 21:24

oui, c'est 1.

Par la suite, j'ai effectuer un changement de bornes.

j'ai transformé p(n)= \sum_{k=0}^{n-1}({2k+1})= n^2  en \sum_{k=1}^{n}({2k-1})=n^2




Ma démarche est la suivante:

Initialisation:

Pour n=1, on a

p(1) = \sum_{k=1}^{n=1}(2k-1) = 2-1=1

p(1)=n^2 = (1)^2 =1

D'ou, p(1) est vrai.

Est  ce mieux ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quantificateur et démonstration par récurence 05-09-19 à 23:02

Je n'ai pas beaucoup de temps :
Donne un nom à la somme, par exemple S(n).
Et ne mélange pas S(n) qui est une expression numérique avec P(n) qui est une proposition.
P(n), c'est S(n) = n2 .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quantificateur et démonstration par récurence 06-09-19 à 06:58

Bonjour,
Un peu plus de temps ce matin, mais pas longtemps.
Je ne pense pas qu'il faut changer le corrigé en classe.
S'il a été corrigé comme ça, c'est que le prof va corriger la suite en l'utilisant tel que.

Poser \; S(n) = \sum_{k=0}^{n-1}({2k+1}) . \; \; Et \; P(n) : S(n) = n^2 .

S(1) = \sum_{k=0}^{0}({2k+1}) = 1 = 1^2 \; \; ; donc P(1) est vraie.

Pour l'hérédité, il sera utile de compléter ceci : S(n+1) = S(n) + ??

Posté par
Aite33re : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 09:15

Pour l'hérédité, une correction a été faite hier en classe. Je pense avoir compris la démarche mais j'ai encore quelques soucis avec la relation de Chasles dans ce type d'exercice.

Voici la correction faite en classe:

p(n)= \sum_{k=1}^{n}{(2k-1)}=n^2   (n)

\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)}=n^2

\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n}{(2k-1)} =n^2+2n+1-2n-1

\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)}=(n+1)^2 -2n-1


\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n+1}{(2k-1)}= (n+1)^2       (n+1)



Je n'ai pas pu mettre la fin de l'exercice car je rencontre un petit soucis avec le Latex. Mais l'idée est de débuter à partir du rang n+1 (en fin de démonstration) et de remonter progressivement au rang n (début de démonstration). Pour cela, on a appliqué la relation de Chasles. Mon gros soucis est que je n'arrive pas à voir la relation de Chasles en partant de n+1....

Par ailleurs, j'ai une autre question, pourquoi au rang n+1, la borne supérieur du sigma devient n+1 et non n ?

Posté par
carpediemre : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 09:39

salut

ça fait pédant de parler de relation de Chasles avec des sommations de nombres ...

il est évident que pour sommer n + 1 nombres il me suffit de sommer les n premiers et d'ajouter le dernier ...

\sum_1^{n + 1}a_k = \sum_1^n a_k + a_{k + 1} bon latex ne marche pas ...

S[k = 1 --> n +1, a(k)] = S[k = 1 --> n, a(k)] + a(n + 1)

c'est le principe même de la récurrence ...

et quelle est l'intérêt de changer la somme en démarrant de 1 au lieu de 0 pour sommer les 2k - 1 au lieu des 2k + 1 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 09:41

Bonjour,

Citation :
l'idée est de débuter à partir du rang n+1 (en fin de démonstration) et de remonter progressivement au rang n (début de démonstration).

Je suppose que c'est l'idée pour trouver le cheminement de la démonstration.
Une fois trouvé ce cheminement au brouillon, il faut mettre au propre l'hérédité en partant du rang n (hypothèse de récurrence) pour conclure au rang n+1.

J'ai aussi un problème avec Latex. sans doute une panne du site. Difficile d'expliquer sans
Tu peux aller voir ceci :
Il y a la démonstration dont on parle puis la relation de Chasles. Je te conseilles de lire jusque "u0+u1+...+un−1+un= (u0+...+up) + (up+1+...+un)".

Posté par
Aite33re : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 10:35

J'aurais pu partir de 2k+1 au lieu de 2k-1. Les 2 sont justes mais j'avais un petit soucis dans la récurence pour le changement de borne.

J'avais la somme partant de k=0 à n+1 et en la transformant, j'obtenais une somme allant de k=-1 à n et cela me perturbais un peu.

Posté par
carpediemre : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 10:58

je ne vois pas pourquoi la borne initiale dans la récurrence (et elle ne change pas d'ailleurs !!!)

Posté par
carpediemre : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 10:58

je ne vois pas pourquoi la borne initiale change dans la récurrence (et elle ne change évidemment pas d'ailleurs !!!)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 11:24

@Aite33,
As-tu pensé à écrire S(4) = 1+3+5+7 ; puis de même S(5) = ?
Pour mieux comprendre.

Posté par
Aite33re : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 12:47

oui, c'est une suite arithmétique de raison 2. J'ai refait l'exo et j'ai réussi à le refaire mais il y'a un point que je n'ai pas compris et ça pourrais m'aider à comprendre mon erreur c'est pour le 1).

Dans la correction faite en classe, il ya 2 réponse:

- S(n) = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = n^2 = p(n)

                                                        ou

- S(n) = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)= n^2 = p(n)

j'ai compris que le n-1 désignait les n premiers termes et que 2k+1 ou 2k-1 désignait les nombres impairs. ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi dans la première somme on va de k=0 à n-1 et dans la seconde on va de k=1 jusqu'à n et non jusqu'à n-1 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 15:19

Enlève d'abord ces p(n).
Ensuite :
Dans la première égalité, le premier terme de la somme s'obtient pour k=0.
Pour k=0, ce premier terme est 2k+1 = 1 .
Le dernier terme s'obtient pour k=n-1 ; ce dernier terme est 2k+1 = 2(n-1)+1 = 2n-1.

Pour la seconde égalité, le premier terme de la somme s'obtient pour k=1.
Pour k=1, ce premier terme est 2k-1= 1.
Le dernier terme s'obtient pour k=n ; ce dernier terme est 2n-1.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quantificateur et démonstration par récurence 07-09-19 à 15:25

Va aussi voir l'exemple 3 dans

Posté par
mousse42re : Quantificateur et démonstration par récurence 08-09-19 à 01:00

Bonsoir,

Attention :
S(n)=\sum_{k=0}^{n-1}2k+1 est une suite.

P(n) est une proposition (prédicat) qui dépend de n, et dans ton cas c'est une égalité qui est vraie ou fausse selon n

On écrit P(n): \sum_{k=0}^{n-1}2k+1=n^2 ou P(n):S(n)=n^2

La proposition P(n) est héréditaire si et seulemet si elle vérifie la proposition H

H:\quad \forall n\in \N^*\quad P(n)\implies P(n+1)

Pour montrer H, qu'on appelle l'hérédité, on prend un n quelconque et on suppose P(n) vraie, ensuite on vérifie que P(n+1) est vraie en utilisant P(n) que l'on sait vraie (hypothèse de récurrence)

P(n+1):\sum_{k=0}^{n}2k+1=(n+1)^2\iff \cdots

Posté par
mousse42re : Quantificateur et démonstration par récurence 08-09-19 à 09:47

un rectification

mousse42 @ 08-09-2019 à 01:00

Bonsoir,


La proposition P(n) est héréditaire si et seulemet si elle vérifie la proposition \red H .  la proposition H ci- dessous est vérifiée


H:\quad \forall n\in \N^*\quad P(n)\implies P(n+1)


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