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quantificateurs, contraposée

Posté par
mousse42 19-04-16 à 01:43

Bonjour,
Ma question porte sur la négations des quantificateurs :
Exemple :
Lorsque je fais la contraposée de :

\forall x\ \in \ E,\ f(x)\ =\ 0 \implies \exists z\ \in E,\ f(z)\ =\ 0

ça donne :

\forall z\ \in \ E,\ f(z)\ \neq \ 0 \implies \exists x\ \in E,\ f(x)\ \neq\ 0

il y a négation des quantificateurs

un deuxième exemple :
la contraposée de :

\forall x\ \in \ I,\ \forall z\ \in \ I, \ x\ > \ z \implies f(x)\ =\ f(z)

c'est :

\forall x\ \in \ I,\ \forall z\ \in \ I, \ f(x)\ \neq \ f(z) \ \implies x\ \leq \ z

Il n'y a pas négation des quantificateurs.


Voici ma question, peut-on parler de variables locales (1er exemple) et de variables globales(2nd exemple)?
Pour la contraposée, peut-on conclure qu'il n'y a pas négation des quantificateurs des variables globales?

je vous remercie
Salutations
mousse

Posté par
algorithmere : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 02:09

dans la contraposee de la contraposee de la deuxieme il n'ya pas de negation des quantificateurs puisque

pour tout x z I si vous trouvez que f(x)f(z) c'est que ces deux elements (qlcs) sont telsque x<=z

Posté par
algorithmere : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 02:10

desole pour la deuxieme contraposee

algorithme @ 19-04-2016 à 02:09

dans la contraposee de la contraposee de la deuxieme il n'ya pas de negation des quantificateurs puisque

pour tout x z I si vous trouvez que f(x)f(z) c'est que ces deux elements (qlcs) sont telsque x<=z

Posté par
Recomic35re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 09:23

Parler de "négation des quantificateurs" est assez bizarre : il s'agit en fait de négation d'une formule qui contient des quantificateurs.
La contraposée d'une implication A \Rightarrow B, c'est (\text{non } B)\Rightarrow (\text{non } A).

Tu devrais parenthéser tes formules pour bien indiquer la portée des quantificateurs. Dans ton premier exemple :
(\forall x\in E\ f(x)=0) \implies (\exists z \in E\ f(z) = 0)
les quantificateurs sont à l'intérieur des formules A et B qu'on nie pour écrire la contraposée.


Dans ton deuxième exemple
\forall x \in I\ \forall z \in I \ (x > z \implies f(x) = f(z))
les formules A et B figurant à gauche et à droite de l'implication ne sont pas quantifiées.

Posté par
mousse42re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 11:32

Recomic35 @ 19-04-2016 à 09:23


Dans ton deuxième exemple
\forall x \in I\ \forall z \in I \ (x > z \implies f(x) = f(z))
les formules A et B figurant à gauche et à droite de l'implication ne sont pas quantifiées.


Il y a bien quantification des variables x et z au début de la proposition \forall x \in I\ \forall z \in I.

Posté par
lafol Moderateurre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 11:44

Bonjour

mais pas dans l'implication...

Posté par
Recomic35re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 12:22

Pour redire ce qu'on t'a déjà dit (bonjour lafol) : la contraposition porte sur l'implication x > z \implies f(x) = f(z), dans laquelle ni la formule de gauche ni la formule de droite ne sont quantifiées.

C'est après l'implication qu'on a une quantification.

Posté par
lafol Moderateurre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 12:27

bonjour recomic

Posté par
mousse42re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 15:25

Merci pour vos réponses, mais vous ne faite que décrire ce que j'ai noté dans mon premier message.

Quelle est la contraposée de :

\forall a \ \in \ \mathbb{R}, \ \forall \varepsilon \ > \ 0, \ \mid a \mid \ \leq \ \varepsilon \implies a \ = \ 0

Alors oui, si on met les parenthèses au bon endroit, on arrive à la bonne réponse, cependant dans les énoncés, les parenthèses ne sont pas tjrs présentes. Et de ce fait, je pose la question autrement, comment place-t-on correctement les parenthèses et faut-il le faire en ayant à l'esprit la notion de variables locales et globales. Y-a-t-il quelque chose ( une propriété, un cours) qui traite cela.

Posté par
mousse42re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 15:43

Ce que je voulais dire, c'est que je n'ai rien vu dans des ouvrages ou des cours traitant ce cas en particulier.
Je préfère evidemment vos réponses.

Posté par
Recomic35re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 16:31

Ton exemple :
\forall a \ \in \ \mathbb{R}, \ \forall \varepsilon \ > \ 0, \ \mid a \mid \ \leq \ \varepsilon \implies a \ = \ 0
montre que sans parenthèse, on ne sait pas lire cette formule (accessoirement, les virgules ne servent strictement à rien). Est-ce :
\forall a\in\mathbb{R}\ \forall \varepsilon>0\ (\vert a\vert\leq\varepsilon\implies a=0)
ou alors est-ce
\forall a\in\mathbb{R}\ \big((\forall \varepsilon>0\ \vert a\vert\leq\varepsilon)\implies a=0)\big)  ?
Je pense que tu comprends que ces deux formules disent des choses complètement différentes, n'est-ce pas ?

Il semble que tu n'aies pas les idées très claires sur la construction des formules logiques. Celles-ci se construisent à partir des formules atomiques (comme a=0 ou \vert a\vert\leq\varepsilon) au moyen des connecteurs propositionnels "et", "ou", "non", \Rightarrow et des quantifications universelles ou existentielles. Contrairement à ce qui se passe pour les opérations algébriques, il n'y a pas de règle de priorité claire sur l'ordre dans lequel on applique ces opérations sur les formules, et il est donc indispensable de parenthéser correctement pour donner un sens clair à ce qu'on écrit.

Posté par
lafol Moderateurre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 16:39

mousse42 @ 19-04-2016 à 15:25

Merci pour vos réponses, mais vous ne faite que décrire ce que j'ai noté dans mon premier message.

Quelle est la contraposée de :

\forall a \ \in \ \mathbb{R}, \ \forall \varepsilon \ > \ 0, \ \mid a \mid \ \leq \ \varepsilon \implies a \ = \ 0



ce n'est pas une implication, donc pas de contraposée ....

Posté par
Recomic35re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 16:39

Je poursuis avec le même exemple. La contraposition s'applique à une formule qui est une implication (et pas à une formule quantifiée, c.-à-d. à une formule dont le dernier opérateur dans l'ordre de construction est un quantificateur)).

Par exemple la contraposée de  \vert a\vert\leq\varepsilon\implies a=0  est  a\neq 0 \implies \vert a\vert>\varepsilon .
La contraposée de   (\forall \varepsilon>0\ \vert a\vert\leq\varepsilon)\implies a=0  est  a\neq 0 \implies (\exists \varepsilon >0\ \vert a\vert >\varepsilon) .

Posté par
lafol Moderateurre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 16:41

ça pourrait être une implication, avec des parenthèses comme ça :

\left( \forall a \ \in \ \mathbb{R}, \ \forall \varepsilon \ > \ 0, \ \mid a \mid \ \leq \ \varepsilon\right) \implies \left( a \ = \ 0\right)

sauf qu'avec des parenthèses comme ça, ça n'a guère de sens.

Posté par
Recomic35re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 16:49

Oui, c'est une troisième façon de lire la formule. Je l'avais écartée car elle fait apparaître a comme variable liée à gauche de l'implication et variable libre à droite. C'est licite, mais troublant.

Posté par
mousse42re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 17:19

Ok, merci pour ces explications, c'est beaucoup plus clair.

En fait, pour essayer de m'y retrouver, j'avais à l'idée que comme "a" est une variable globale, je pouvais mettre les parenthèses ainsi :


\forall a \ \in \ \mathbb{R}, \ ( \forall \varepsilon \ > \ 0, \ \mid a \mid \ \leq \ \varepsilon\implies a \ = \ 0)

et donc la contraposée serait :


\forall a \ \in \ \mathbb{R}, \  a \ \neq \ 0 \implies (\exists\varepsilon \ > \ 0, \ \mid a \mid \ > \ \varepsilon )

Donc je pensais qu'il y avait une histoire de variable globale ou locale, car on voit dans cet exemple la variable  \varepsilon est liée à la première proposition seulement  \forall \varepsilon \ > \ 0, \ \mid a \mid \ \leq \ \varepsilon  mais pas à la seconde    a \ = \ 0 alors que a est liée au deux propositions.

Ceci étant dit, l'explication de "Recomic35" ci-dessous est très claire :

Citation :
Il semble que tu n'aies pas les idées très claires sur la construction des formules logiques. Celles-ci se construisent à partir des formules atomiques (comme a=0 ou \vert a\vert\leq\varepsilon) au moyen des connecteurs propositionnels "et", "ou", "non", \Rightarrow et des quantifications universelles ou existentielles. Contrairement à ce qui se passe pour les opérations algébriques, il n'y a pas de règle de priorité claire sur l'ordre dans lequel on applique ces opérations sur les formules, et il est donc indispensable de parenthéser correctement pour donner un sens clair à ce qu'on écrit.



Merci Recomic35, tu as vu juste, j'avais bien un problème de construction de formule logique.

Merci beaucoup

mousse

Posté par
verdurinre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 17:38

Bonsoir à tous.

Citation :
Contrairement à ce qui se passe pour les opérations algébriques, il n'y a pas de règle de priorité claire sur l'ordre dans lequel on applique ces opérations sur les formules, et il est donc indispensable de parenthéser correctement pour donner un sens clair à ce qu'on écrit.

Et c'est bien dommage.

Quand on lit
A\Rightarrow B \Rightarrow C
faut-il comprendre
A\Rightarrow( B \Rightarrow C)
(A\Rightarrow B )\Rightarrow C
Ou comme c'est malheureusement souvent le cas
(A\Rightarrow B)\land (B\Rightarrow C)

Posté par
mousse42re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 18:25

Dernière petite question.
Dans une formule logique, a-t-on le droit de dire que \exists x \in E est une proposition ou une formule atomique?

Et donc

P(x) = \exists x\in \ E, \ p(x) \iff P(x) = e(x), p(x)

Posté par
verdurinre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 18:34

À mon avis \exists x \in E est une formule atomique que j'écrirais E\neq \emptyset

Sinon je ne comprends pas la formule que tu écrivis : qui sont e et p ?

Posté par
mousse42re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 18:41

p(x) est une proposition lambda
et e(x) = \exists x\in E

Posté par
verdurinre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 18:56

Je comprends encore moins.
Si tu mettais des parenthèses plutôt que des virgules, ce serrait plus compréhensible.

Sinon je propose une interprétation triviale

\bigl(E\neq \emptyset)\land(\exists\, x\in E\ p(x)\bigr)\iff\bigl(E\neq \emptyset)\land(\exists\, x\in E\ p(x)\bigr)

Posté par
verdurinre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 19:01

J'ai oublié des parenthèses.

\Bigl(\bigl(E\neq \emptyset\bigr)\land\bigl(\exists\, x\in E\ p(x)\bigr)\Bigr)\iff \Bigl(\bigl(E\neq \emptyset\bigr)\land\bigl(\exists\, x\in E\ p(x)\bigr)\Bigr)\

Posté par
mousse42re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 19:18

Je m'emmêle les pinceaux...

Avoir mis l'accent sur le fait qu'il faut parenthéser correctement m'a beaucoup aidé.

Je vais travailler quelques notions de logique.

Merci à très bientôt

Posté par
Recomic35re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 21:18

\exists x \in E n'est pas une formule. La quantification bornée est un raccourci de langage : \exists x\in E\ P(x)  est une abréviation pour  \exists x\ (x\in E \text{ et } P(x)) . De même,  \forall x\in E\ P(x)  est une abréviation pour  \forall x\ (x\in E \implies P(x)) .
La vraie logique du premier ordre s'écrit uniquement avec les quantificateurs \exists x  et \forall x .

Posté par
verdurinre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 21:40

Salut Recomic35,
j'aimerais savoir pourquoi
\exists x \in E
n'est pas une formule.

Posté par
Recomic35re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 22:06

Parce qu'il y a des règles de formation des formules, et que \exists x\in E n'est pas une formule construite suivant ces règles, de même que \exist x n'est une formule correctement construite.

Si P est une formule \exists x\ P est une formule.

Posté par
Recomic35re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 22:09

Ajout : si \exists\in E était une formule, que serait  \exists _in E \ P(x) ? La juxtaposition de deux formules ? La juxtaposition de deux formules ne fait pas une formule.

Posté par
Recomic35re : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 22:10

Lire :

Recomic35 @ 19-04-2016 à 22:09

Ajout : si \exists x\in E était une formule, que serait  \exists x\in E \ P(x) ? La juxtaposition de deux formules ? La juxtaposition de deux formules ne fait pas une formule.

Posté par
verdurinre : quantificateurs, contraposée 19-04-16 à 22:38

D'accord.
Je n'ai pas vu que je prenais un raccourci syntaxiquement incorrect.

C'est en effet
\exists x \ x\in E
pour dire
E\neq \emptyset


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