Bonjour ,
J'ai un problème avec une question d'un exercice.
Soient un espace topologique, un singleton, avec , et
De plus,
(on ne voit pas très bien mais K est quasi compacte et fermé dans )
Montrer queest quasi-compact.
Avant de commencer de répondre à la question je montre déjà que est une topologie sur
Je posé déjà mieux K:
K est est quasi compacte c'est-à dire tout recouvrement ouvert de (autrement dit où pour tout ) on peut extraire un sous rcouvrement fini ( autrement dit avec fini)
De plus K est fermé. Mais ne peut-on pas "ignorer" que K est fermé car une partie fermée d'un quasi-compact est quasi-compacte ?
Si non comment peut-on décrire K avec K quasi compacte et fermé s'il vous plait ?
Je vous remercie,
Bien cordialement
Bonjour,
Une version plus lisioble de ton énoncé serait-elle ça :
Oui mais je n'arrive pas à faire des espaces sous LaTex mais je vous remercie d'avoir rectifié.
D'accord oui je me suis trompée de "sens".
Donc pour "résumer" :
quasi-compact et fermé dans revient à K fermé
Mais je ne vois pas ce que c'est alors \ \
Néanmoins je peux commencer à vérifier le premier axiome de la topologie :
i) T est un toopologie donc et
donc
J'ai fait une erreur de frappe :
{ \ }= { \ }
Et je ne comprends pas ce que cela veut dire.
i) Autant pour moi, car si {}
Alors { \ }= {}
Donc et
Merci pour les commandes LaTex
Tu voulais sans doute dire que X' n'est pas inclus dans X (parler d'appartenance entre X' et X ne fait pas sens, essaie d'employer les termes corrects). Ou alors que X' n'appartient pas à T ?
Qu'est-ce que tu as à montrer ? Que T' est une topologie sur X'. C'est-à-dire ;
1) que T' est stable par réunion quelconque (en particulier que appartient à T') ;
2) que T' est stable par intersection finie (ce qui se fait en montrent que X' appartient à T' et que si F et G appartiennent à T', alors leur intersection appartient aussi à T').
Pour montrer que X' appartient à T' : vu que X' n'appartient pas à T, tu as à montrer qu'il est de la forme X' \ K où K est un fermé de X. Est-ce dur de trouver le K qui convient ?
Je me suis sans doute mal exprimée
En fait dans les axiomes à vérifier pour montrer que est une topologie, il y en a 3 dans mon cours et le premier est :
i)
ii) T' est stable par réunion quelconque :
Soit une famille quelconque
Si pour tout alors
sinon il existe tel que U_i_1= T donc
donc
iii) T' est stable par intersection finie :
Soit
Si alors
Sinon alors
Donc
Pour montrer que X' appartient à T' c'est exactement ce que je voulais faire c'est pour cela j'avais choisi le singleton 1 .
Mais K est quasi-compact et fermé dans (X,T) donc K est un fermé de X
Ça ne va pas. Tu fais un grand méli-mélo.
Prenons ce que tu écris pour la stabilité par union quelconque
"Si pour tout , ". Ça ne va pas parce que le fermé K de X n'est bien entendu pas le même pour tous les i ! On doit considérer avec fermé de pour tout .
"sinon il existe tel que ". Ici, confusion complète : T n'est pas une partie de X. T est une collection de parties de X. Ta phrase n'a donc aucun sens.
Essaie de te clarifier les idées.
Ah oui donc :
Si pour tout alors
Sinon il existe tel que alors
Donc
Donc T' est stable par union quelconque
Non, ça ne va toujours pas. Aucun de tes arguments ne tient.
Pour le premier, tu écris une égalité entre quelquee chose qui ne dépend pas de i et quelque chose qui dépend de i.
Pour le deuxième tu écris un "alors" qui est faux.
Tu donnes l'impression d'aligner des formules qui n'ont pas de sens pour toi. Essaie de plus réfléchir à ce que tu écris.
Oui je ne comprends pas très bien
La remarque que vous me faites c'est que "tu écris une égalité entre quelquee chose qui ne dépend pas de i et quelque chose qui dépend de i."
Vous même vous m'avez dit : " avec fermé de X pour tout i."
Je ne dois pas comprendre ce que vous voulez me faire dire.
Pour la deuxième je crois voir le problème. C'est que et pour tout i. Mais alors ça appartient à T'.
Et comme T est inclus dans T'. Alors s'il existe un
Par conséquent, on peut aussi considérer le cas que si pour tout i , alors
Donc
Ça se confirme. Malheureusement, tu ne comprends pas vraiment ce que tu écris. Je prends juste un exemple :
Ben non, ru n'as pas démontré ton "Par conséquent".
Tu tournes en rond et ce fil tourne en eau de boudin. Pour l'achever, je donne les grandes lignes de la démonstration. Je commence par un bout dans ce message.
est dans car et que est un fermé quasi-compact de .
L'intersection de deux éléments et de est dans . C'est clair si et sont dans . Si et avec fermés quasi-compacts de , alors est un fermé quasi-compact de et est dans . Si avec fermé quasi-compact de et , alors est dans et donc dans .
Je vous remercie !
Oui je comprends donc que est un fermé quasi compact de X car une union finie de quasi-compacts est quasi-compact.
Je me suis inspirée de votre rédaction pour faire de même pour montrer que T' est stable par union :
Si pour tout alors
Si pour tout avec fermé quasi-compacts de X alors est un fermé et quasi-compact de X car une intersection quelconque d'un quasi-compact est quasi-compact.
S'il existe tel que et pour tout alors
Donc
Donc
J'ai essayé de faire de mon mieux, n'hésitez pas à me dire s'il y a des choses fausses.
J'essaye de montrer maintenant que est quasi-compact
Pour montrer que (X',T') est quasi-compact il faut je pense utiliser l'axiome de Borel-Lebesgue mais je n'y arrive pas . Pouvez-vous me donner des indications s'il vous plaît ?
Je ne vois pas ce qu'on peut rajouter parce qu'on sait que et
Après on sait aussi que c'est peut être cela que vous attendez, autrement je ne vois pas
Ah, mais je ne vois pas comment le montrer rigoureusement.
Cependant on sait que donc T' est "plus grand" que T donc l'union d'un élément de T et d'un élément de T' est dans T'
NON !!!
Tu refais une faute de logique. Tu en as déjà fait de ce genre précédemment.
Réfléchis bien à la nature des objets que tu manipules.
Vois-tu la faute ?
Oui pardon !!
Mais après je ne vois pas comment montrer que l'union d'un élément de T et d'un élément de T' est dans T'
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