Bonjour,

Un exemple avec t=3 : A={1,2,3}, B={1,2,4}, C={1,3,4} et D={2,3,4}.

Les cardinaux 1 et 2 sont interdits.

Bonjour Jandri

J'avais un exemple équivalent au tien mais pour la généralisation j'avais oublié un cas de figure qui me fait penser que l'on risque de retomber sur un problème de parité . Je donne simplement mon idée mais c'est certainement celle que tu as utilisée . On part d'un X qui est la réunion de A , B , C et D et on cherche comment réduire les quatre ensembles , d'un , de deux ou plus d'éléments . Pour un élément c'est vite fait mais pour deux il me manquait un cas qui risque de changer la donne .

J'y retourne dès que possible

Imod

J'explique mon idée . On désigne les différentes intersections des quatre ensembles à l'aide des lettres A , B , C et D . Par exemple ABD désigne l'ensemble des points appartenant à A , B et D mais pas à C . A est l'ensemble des points qui n'appartiennent qu'à A ( c'est un peu perturbant ) . On a donc en tout 15 parties et on note leur cardinal d'une lettre minuscule  A(a) , B(b) , C(c) , D(d) , AB(e) , AC(f) , AD(g) , BC(h) , BD(i) , CD(j) , ABC(k) , ABD((l) , ACD(m) , BCD(n) , ABCD(o) .
L'idée qui était celle du fil précédent est de partir d'un X qui est la réunion des quatre ensembles et de réduire sa taille en conservant l'équilibre des cardinaux . On cherche d'abord comment réduire ces cardinaux d'une unité puis de deux , … et aussi d'empêcher cette réduction .
Il y a clairement des symétries dans les lettres , je ne donne qu'un exemple pour chaque réduction .
Comment réduire les cardinaux de 1 ? On prend :
• Un élément dans ABCD ( c'est impossible si 0 est nul ) .
• Un élément dans A et un dans BCD ( c'est impossible si an = 0 ) .
• Un élément dans AB et un dans CD ( c'est impossible si ej = 0 ) .
• Un élément dans A , un dans B et un dans CD ( c'est impossible si abj = 0 ) .
Il n'y a pas d'autre façon de procéder . Pour la suite on note A+B+CD quand on prend un élément dans A , B et CD .
Pour la suppression de deux éléments c'est moins simple si on veut éviter ce qui peut se faire en une étape :
• ABC + ABD + CD ( impossible si klj = 0 ) .
• A + BC +BD +ACD ( impossible si ahim = 0 ) .
Pour trois éléments , j'en suis resté à une possibilité :
• ABC + ABD + ACD + BCD ( impossible si klmn = 0 ) .
Il y en certainement plein d'autres en prenant plusieurs éléments dans chaque ensemble .
En bref , une solution complète risque d'être très difficile mais on peut y croire …
Imod  

Bonsoir,
J'ai l'impression que l'on pourra toujours retirer un nombre multiple de 3 si on a quatre  ensembles.
Et pour généraliser un nombre multiple de n-1 si on a n ensembles.

En appelant couronne l'union des intersections de trois ( en général n-1 ) ensembles si l'union des quatre ( en général n ) ensembles est égal à la couronne il est presque évident que l'on ne peut retirer que des multiples de trois ( en général n-1 ).

Sans démonstration pour l'instant le cas le plus restrictif est celui où l'union des ensembles est la couronne.

Pour confirmer le début de ta conjecture , il suffirait de prouver que l'ensemble des égalités annoncées plus haut auxquelles on ajouterait a+e+f+g+k+l+m=b+e+h+i+k+l+n=c+f+h+j+k+m+n=d+g+i+j+l+m+n , n'est possible que si les 15 cardinaux sont nuls ( j'y crois assez ) .

Imod