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quatre questions indépendantes
Bonjour à tous. Ci-dessous le début d'un DM que je dois faire pour lundi. J'en suis à la toute première question et j'ai des doutes sur les calculs à effectuer. J'ai tapé tout l'énoncé et j'ai peur de me servir de mauvaises données. Pouvez-vous m'aider. Merci beaucoup.
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O,u,v) et l’unité de longueur vaut 2,5 cm.
On note A le point d’affixe 2 et B le point d’affixe –2i
Etant donné un point M d’affixe z appartenant à C privé de {-2i}, on lui associe le point N d’affixe f(x) = (2z+5i)/(z+2i)
On notera par la suite N = F(M) et l’on dira que N est l’image de M par F
Enfin on considère les six points suivants :
M1 d’affixe z1 = 1 – 2i
M2 d’affixe z2 = (3-6i)/5
M3 d’affixe z3 = (-4-7i)/5
M4 d’affixe z4 = -3i
M5 d’affixe z5 = 2 (M5 =A)
M6 d’affixe z6 = 2+((racine de 3)-2)i
Questions : (4 questions en tout mais je n’ai écrite que les deux premières)
1)pour k appartenant à {1,2,3,4,5,6},
a) déterminer les coordonnées des points Nk
b) placer sur une figure soignée Mk et Nk
c) déterminer les affixes des vecteurs BMk et ANk. On les notera Zk et Z’k
d) calculer les modules des nombres Zk et Z’k. Que représentent géométriquement ces modules ?
e) lorsque c’est possible, calculer un argument de Zk et un argument de Z’k. On notera qk et q’k ces arguments. Sinon déterminer des valeurs approchées de ces arguments à l’aide de la calculatrice en indiquant avec précision le raisonnement. Que représentent géométriquement ces arguments ?
2) dans cette question, on généralise les résultats observés dans la question précédente.
a) démontrer que, pour z appartenant à C privé de {-2i} ;(f(z)-2)(z+2i) est indépendant de z
b) en déduire la valeur de BM * AN pour M différent de B. Que peut-on dire de N lorsque le point est sur le cercle de centre B et de rayon 1 ?
c) démontrer que, pour M différent de B, les angles (u,BM) et (u, AN) sont complémentaires.
d) En déduire une construction de N lorsque le point M est un point quelconque du cercle de centre B et de rayon 1. Faire une figure. Peut-on généraliser cette construction à un point M quelconque mais différent de B ?
La question 1/a, tu dois chercher les coordonnées de N1 = F(M1), de N2 = F(M2), etc... jsuqu'à N6
Mes premiers calculs me donnent :
N1 = 2 + i
N2 = (14+3i)/5
N3 = (11-4i)/5
N4 = 1
N5 = (9+i)/4
N6 = ? (je n'ai pas réussi à faire ce calcul).
Ensuite je les place sur le plan .
Puis, comment je détermine les affixes des vecteurs (question1)c)).Merci de me répondre.
¨SVP, pouvez-vous me dire si mon début est juste et m'aider pour la suite de ce problème (déterminer les affixes des vecteurs?) Merci.
N1; N2 je trouve pareil
pour N3, je trouve (13-4i)/5, avec un passage par (-8+11i)/(-4+3i)
Pour N4, N5, je trouve pareil
Pour N6, je trouve (14+ racine(3)+2i)/7
Par curiosité, est-ce que ca ressemble à quelque chose en particulier, le dessin ?
Pour calculer l'affixe d'un vecteur BM, tu calcules zM - zB
Bonjour à tous,
Je reviens vers vous pour la suite de mon super DM.(une semaine supplémentaire car trop long !)J'ai fait, la question 1, la question 2 (plus ou moins). Quelques petits points à vérifier si vous avez le temps . pour le 2)a), j'ai calculé (f(z)-2)(z+2i), le tout est égal à i (si je ne suis pas trompée). Comment montrer qu'il est indépendant de Z ?
Puis 2)b) : BM * AN = i
Ensuite, démontrer que les angles sont complémentaires. Je pense faire l'opération avec les arguments (ZM - Zb) et(ZN-ZA) mais je ne sais comment faire. (pour moi, ce serait arg (i) soit PI/2 mais est-ce celà ?
Donc si vous pouvez déjà m'aider sur ces deux points. merci.
SVP , il y a quelqu'un qui peut m'aider. Merci
SVP, n'ayez pas peur de l'énoncé (important mais en partie résolu). Aidez-moi à le finir. Merci.
SVP, j'ai vraiment besoin de quelqu'un pour terminer. Aidez-moi SVP. Merci
2.a. si (z' - 2)(z + 2i) = i c'est bien indépendant de z non?
2.b. attention : ne pas confondre affixe et distance
z' - 2 est l'affixe de AN, la distance AN = |z' - 2|
de même BM = |z + 2i|
donc AN*BM = |z'-2|*|z + 2i| = |(z' - 2)(z + 2i)| = |i| = 1 (et non i)
2.c.Se souvenir que arg(z' - 2) = angle(u, AN)
se souvenir que arg(produit) = somme des arg
se souvenir que arg(i) = pi/2
avec cela, il va être facile de démontrer que
angle(u;AN) + angle(u;BM) = pi/2
Bon courage
1)
f(z) = (2z+5i)/(z+2i)
N1:
z1 = 1 - 2i
f(z1) = (2-4i+5i)/(1-2i+2i) = (2+i)
L'affixe de N1 est 2+i
---
N2:
z2 = (3-6i)/5
f(z2) = (6/5 -(12/5)i + 5i)/(3/5 - (6/5)i + 2i) = (6 + 13i)/(3 + 4i) = 2,8 + 0,6i
L'affixe de N2 est 2,8 + 0,6i
---
N3:
z3 = (-4-7i)/5
f(z3) = (-8/5 - (14/5)i + 5i)/(-4/5 - (7/5)i + 2i) = (-8 + 11i)/(-4 + 3i)
= (-8 + 11i)(-4 - 3i)/(16 + 9) = (32 + 33 - 44i + 24i)/25 = (65 - 20i)/25 = 2,6 - 0,8i
L'affixe de N3 est 2,6 - 0,8i
---
N4:
z4 = -3i
f(z4) = (-6i+5i)/(-3i+2i) = -i/-i = 1
L'affixe de N4 est 1
---
N5:
z5 = 2
f(z5) = (4 + 5i)/(2+2i) = (4+5i)(2-2i)/(4+4) = (18 + 2i)/8 = (9/4) + (1/4)i
L'affixe de N5 est (9/4) + (1/4)i
---
N6:
z6 = 2+(V3-2)i
f(z6) = (4 + (2V3-4)i + 5i)/(2+(V3-2)i+2i) = (4 + (2V3+1)i)/(2 + V3 i)
= (4 + (2V3+1)i)(2 - V3 i)/(2² + 3) = [(8 + V3(2V3 +1)) + i(4V3 + 2 -4V3)]/7
= [(14 + V3) + 2i]/7 = 2 + ((V3)/7) + (2/7)i
L'affixe de N6 est [2 + ((V3)/7)] + (2/7)i
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Vecteur BM1:
avec B(0 ; -2) et M1(1 ; -2)
vect(BM1) = (1 - 0 ; -2-(-2))
vect(BM1) = (1 ; 0)
Z1 = 1
Vecteur AN1:
avec A(2 ; 0) et N1(2 ; 1)
vect(AN1) = (2 - 2; 1 - 0)
vect(AN1) = (0 ; 1)
Z'1 = i
Vecteur BM2:
avec B(0 ; -2) et M1(0,6 ; -1,2)
vect(BM2) = (0,6 - 0 ; -1,2-(-2))
vect(BM1) = (0,6 ; 0,8)
Z2 = 0,6 + 0,8i
Vecteur AN2:
avec A(2 ; 0) et N2(2,8 ; 0,6i)
vect(AN2) = (2,8 - 2; 0,6 - 0)
vect(AN1) = (10,8 ; 0,6)
Z'2 = 0,8 + 0,6i
A toi pour les suivants...
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Z1 = 1
|Z1| = 1
q1 = 0
Z'1 = i
|Z'1| = 1
q'1 = Pi/2
Z2 = 0,6 + 0,8i
|Z2| = V(0,6² + 0,8²) = 1
cos(Phi) = 0,6
sin(Phi) = 0,8
-> Phi = arccos(0,6) = 0,92729518... radian
q2 = 0,92729518... radian
Z'2 = 0,8 + 0,6i
|Z'2| = V(0,8²+0,6)² = 1
cos(Phi) = 0,8
sin(Phi) = 0,6
-> Phi = arccos(0,8) = 0,64350110879... radian
q'2 = 0,64350110879... radian
Attention pour les suivants, de bien réfléchir sur les signes des sinus et cosinus de Phi pour déterminer le quadrant correspondant du cercle trigonométrique et trouver un argument correct.
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2)
a)
(f(z)-2)(z+2i) = [((2z+5i)/(z+2i))-2].(z+2i)
= [(2z+5i)-2(z+2i)]
= (5i - 4i) = i
Et donc (f(z)-2)(z+2i) est indépendant de z.
Voir réponse de LNb pour la suite.
...
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Sauf distraction. (Je n'ai rien relu, as usual) 
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