Bonsoir
Dans un rectangle d'or O A0 C0 B0 de longueur OA0 = a et de largeur OB0 = b, on découpe le carré 0 A1 C1 B0 de côté b. On découpe ensuite dans le rectangle restant un carré B1 C1 C0 D1 de côté (a - b).
On continue à découper dans le rectangle restant un carré D1 A0 A2 D2 de côté A0 D1 et ainsi de suite en tournant dans le même sens à l'infini...
Etudier ce qui reste du rectangle initial .
Bonsoir
Voici une solution
On appelle le nombre d'or.
On a : b= a-1et =(1 + v5)/2, a et b sont les dimensions du rectangle.
Posons OA0 = a et OB0= b dans le repère orthonormé (0, i, j).
Le côté du carré découpé à l'ordre n est a-n.
Posons OAn = Xn, AnBn = Yn; la suite des longueurs OA2n-1 = X2n-1 est croissante, celles longueurs OA2n = X2n est décroissante et les deux suites tendent vers la même limite qui est l'abscisse XA d'un point A.
On a OA1= a -1et A2n-1A2n+1 = a-(4n+1) .
La suite des points A1,B1,D2,B2,G,H,I,B4, … a pour limite A.
XA = lim X2n+1 = lim (n a-(4n+1) = a3/(4 - 1) quand n
De même la suites des longueurs nA2n-1B2n-1 = Y2n-1 est décroissante, tandis que la suite Y2n = nA2nB2n est croissante. Les deux suites ont pour limite YA ordonnée du point A.
On a YA = lim Y2n = lim n a-4n = a/(4 - 1) quand n.
Du rectangle donné, il ne restera que le point A de coordonnées:
XA = a3/(4 - 1) et YA = a/(4 - 1)
Il est facile de vérifier que A est l'intersection des deux droites (perpendiculaires) (A0B0) et (A1C0).
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