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que veut dire sup et inf d'une fonction ?
Bonjour,
en topologie, on utilise souvent la norme pour des ensembles de fonctions. Pourriez-vous m'expliquer ce que représente le sup f et inf f d'une fonction (plusieurs cas et plusieurs exemples seraient les bienvenus) ? Pourriez-vous m'aider à faire la différence entre min et inf et max et sup ? Comment se les représenter ? Comment prouver que l'inf et le sup d'une fonction existent ?
Cela m'étonne que cette question n'ait pas déjà été posée. Si c'est le cas, je ne l'ai pas trouvée lors de ma recherche.
Je vous remercie tous pour votre contribution.
Bonjour,
le sup d'une partie A d'un ensemble E muni d'une relation d'ordre total est le plus petit des majorants de A.
Par exemple dans le cas d'une fonction f pour la norme infinie il faut préciser où l'on se place, par exemple on regarde le sup d'une fonction continue sur un intervalle [a,b].
On a .
Ce sup a un sens car ta fonction étant continue sur un intervalle borné, elle y est bornée donc |f| est majoré et toute partie majorée non vide de R admet une borne supérieure.
Ici le sup est en fait un max car une fonction continue sur [a,b] y atteint ses bornes. Mais si je regarde par exemple le sup de -e^x sur R, on obtient 0 car la courbe se rapproche indéfiniment de l'axe y=0 mais ne l'atteint jamais donc ce n'est pas un maximum.
Juste un petit oubli de Cauchy, il faut lire : "ta fonction étant continue sur un intervalle fermé borné, elle y est bornée".
En effet, la fonction inverse est continue sur ]0,1[ ( qui est borné mais pas fermé ) mais elle n'est pas bornée sur cet intervalle.
Salut, 
Autre question: si on dit qu'un intervalle de R est fermé (sous entendu des deux côtés), pourquoi doit-on précisé qu'il est aussi borné? C'est pas sous-entendu?
salut
le sup d un ensemble A (supA)c est la borne superieur de cet ensemble càd le plus petit des majorants de A
le max de A (max A) est le plus grand element de cet ensemble càd "on dit que a ds E est le plus grand element de A ,si a est un majorant de A et a appartient à A.
ex1:
A ={1+n ,n ds N*}
dc on a inf A = 2 et min A = 2
ex2:
B={ (n+2)/(n+1),n ds N }
on a : max B = 2 alors qu il n admet pas de plus petit element.
merci et bon courage
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