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Quelles parties sont des Topologies ?
Bonjour, j'aimerai avoir une correction de mon exercice, et des indications pour les questions 3 et 4, voici l'énoncé :
Soit X un ensemble infini. Parmi les ensembles de parties suivants, lesquels sont des topologies ? Justifier la réponse.
1) T1 = {U ⊆ X : U est fini}
2) T2 = {U ⊆ X : U est vide ou infini}
3) Soit x ∈ X. T3 = {U ⊆ X : x ∈ U ou X \ U est fini} ⋃{∅}
4) Soit p > 0 un entier. On pose X = Z et T4 = {pnZ : n ≥ 0} ⋃ {∅}
5) X = R et T5 = {]a, +∞[ : a ∈ R} ⋃ {∅, R}.
Mes réponses :
1) Non ce n'est pas une topologie car X infini, donc X n'appartient pas à T1
2) Non ce n'est pas une topologie car une intersection de parties infinis n'est pas forcément infini.
3) Mon idée était de réécrire l'intervalle T3 pour faire apparaitre T2 car si X/U est fini, U est infini :
T3 = {U ⊆ X : x ∈ U ou X \ U est fini} ⋃{∅} = {U ⊆ X : x ∈ U}⋃{U ⊆ X :X \ U est fini} ⋃{∅}
T3 = {U ⊆ X : x ∈ U}⋃{U ⊆ X :U est infini} ⋃{∅} = {U ⊆ X : x ∈ U}⋃{U ⊆ X : U est vide ou infini}
D'ou T3 = {U ⊆ X : x ∈ U}⋃T2
Et donc si on prend deux éléments de T2 ne contenant pas x, comme leur intersection n'est pas forcément infini, l'intersection n'appartient pas à T3. Donc T3 n'est pas une topologie
( J'espère que c'est lisible et compréhensible et juste surtout )
4) Je bloque pour T4, on a bien sur l'ensemble vide qui appartient à T4 et 
également pour n=0.
Ensuite comment voir que la réunion et l'intersection appartient à T4....? Ou alors quel contre exemple utiliser?
5) Oui car :
l'ensemble vide et 
sont dans T5.
Si on fait une union quelconque d'éléments Ai=]ai ; +
[ avec i
I , alors on pose un a=min(ai) de sorte que l'union des Ai soit égale à ]a ; +[ ; ce qui appartient bien à T5
On fait la même démarche pour l'intersection en posant a=max(ai)
Merci
Bonsoir carpediem.
Il me semble que ton affirmation T4 = {
, Z} n'est valable que si p=1.
Pour p=2 on a T4={, Z, 2Z, 4Z, 8Z, . . .}
Puis l'intersection et l'union d'ensembles de ce type est un ensemble de ce type.
Bonsoir,
Ca semble logique en effet que l'instersection/réunion d'éléments de T4 appartient toujours à T4.
Dites moi si ma justification est bonne :
Dans le cadre de la réunion, l'ensemble avec le coefficient pn le plus petit contient tous les autres, donc la réunion est égale à cet ensemble, donc la réunion appartient à T4
En ce qui concerne l'intersection,
L'intersection est égale à l'ensemble qui possède le pn le plus grand, donc elle appartient bien à T4
Ca ressemble beaucoup au travail de la question 5....
N'ayant pas eu de retour à ce sujet, j'en déduis que les autres questions sont justes?
Merci.
Je suis d'autant plus perplexe que je viens de me rendre compte que ma question 2 ressemble fortement à la topologie des compléments finis, j'ai dis que ce n'était pas une topologie car l'intersection d'ensemble infini n'est pas forcément infini, sur R si on prend ]-;1[ et [-2; [ , est que je me trompe ? Ma question 3 est elle fausse ducoup ?
3/ posons
E = { U 
X / x U}
F = {U X / X/U est fini ou vide}
il est clair que E et F sont stables par union quelconque
E l'est aussi par intersection finie
F l'est-il ?
ensuite reste à voir ce qui se passe quand on fait des unions quelconques d'éléments de E et F et idem pour des intersections finies
Il me semble que F n'est pas stable par intersection, si on prend deux ensembles infinis, leur intersection peut être fini d'où le complémentaire est infini.
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