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Niveau terminale
Quelles sont les differentes manières de démontrer une inclusion
Posté par Bouboux
Bonjour 
,
Soit A = 2*k*pi + pi et B = pi/5 + 2k*pi/5
A part voir que 5B = A (car là c'est visible mais j'aimerais connaitre les manières de faire pour des inclusions moins évidentes), quelles sont les façons de montrer que A est inclus dans B ?
Je sais démontrer cette includion par la contraposition basée sur le contre exemple :
r n'appartient à B
Pour k = 2, pi/5 + 2k*pi/5 = pi appartient à B
Or, pour k = 0, pi appartient à A.
Ainsi par contraposition A est inclus dans B.
Mais quand j'essaie de le faire par implication directe j'ai plus de difficulté :
r appartient à A
r est de la forme 2*k*pi + pi
Et là, je ne sais pas comment continuer.
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci beaucoup !
salut
ta démonstration par contraposition ne vaut rien : tu as trouvé un élément qui appartient à B et à A ... et alors ?
pour montrer que il suffit de montrer que :
tout élément de A est un élément de B
tout élément qui n'appartient pas à B n'appartient pas à A
ici en posant p = pi il est facile de voir que
a = 2kp + p = (2k + 1)p et 2k + 1 est impair
b = p/5 + 2kp/5 = (2k + 1)p/
il suffit alors de prendre 2k + 1 multiple de 5 et tel que (2k + 1)/5 est impair
donc 2k + 1 = 5u et u impair et alors (si cela est possible) tout élément de B est un élément de A !!
Merci beaucoup pour votre réponse !
Effectivement je me suis complètement perdu sur la contraposition.
On a donc C = A : u * pi, un sous ensemble de B
Tout éléments qui n'appartient pas à B n'appartient pas donc à A.
Et pour l'inclusion directe, on aurait :
Pour tout (2k+1) = 5u avec u impair on a:
pi/5 + 2k*pi/5 = u*pi = A
En fait comme on peut montrer directement que A est un sous ensemble de B, on n'a pas besoin de montrer que si un élément appartient à A alors il appartient à B et tenter de le faire devient très fastidieux
quelques bêtises :
carpediem @ 04-12-2023 à 20:30
ici en posant p = pi il est facile de voir que
a = 2kp + p = (2k + 1)p et 2k + 1 est impair
b = p/5 + 2kp/5 = (2k + 1)p/5
il suffit alors de prendre 2k + 1 multiple de 5 et tel que (2k + 1)/5 est impair
donc 2k + 1 = 5u et u impair et alors (si cela est possible) tout élément de A est un élément de B !!
ici en posant p = pi il est facile de voir que
a = 2kp + p = (2k + 1)p et 2k + 1 est impair
b = p/5 + 2kp/5 = (2k + 1)p/5
il suffit alors de prendre 2k + 1 multiple de 5 et tel que (2k + 1)/5 est impair
donc 2k + 1 = 5u et u impair et alors (si cela est possible) tout élément de A est un élément de B !!
il serait cependant judicieux de distinguer les lettres k qui ne sont pas les mêmes pour a et pour b :
a = 2np + p = (2n + 1)p et 2n + 1 est impair
b = p/5 + 2kp/5 = (2k + 1)p/5
il suffit alors de prendre 2k + 1 multiple de 5 et tel que (2k + 1)/5 est impair
donc 2k + 1 = 5u et u impair et alors (si cela est possible) tout élément de A est un élément de B et on aura alors 2n + 1 = u
donc en prenant 2k + 1 = 5(2n + 1) alors b = (2k + 1)p/5 = 5(2n + 1)p/5 = (2n + 1)p = a
donc tout élément de A est un élément de B
