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Quelques affirmations

Posté par lechoriste (invité) 02-10-05 à 21:51

Bonsoir à tous
Voila j'ai quelques questions à résoudre mais je n'y arrive pas (mon frère a deja des problèmes sur son exo je le dérange pas ). Je m'adresse donc à vous en espérant que vous pouvez m'aider .
en fait je dois dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier.

1)On peut trouver une fonction f continue sur l'intervalle I=[2,3] qui tend vers + lorsque x tend vers 5/2.
Je ne sais pas comment trouver une telle fonction, je pense que c'est vrai mais je n'en suis pas sûr.

2)Soit f la fonction définie pour x[1,2] par f(x)= 1 si x2 et -1 si x<2. La méthode de recherche de solutions de l'équation f(x)=0 par dichotomie appliquée à f sur l'intervalle I produit deux suites adjacentes (an) et (bn) dont la limite commune est 2.
La aussi je pense que c'est vrai par le principe de la dichotomie.

3)La fonction qui à x associe f(x)=|x-|sin(x) est dérivable sur .
Je pense que c'est faux du fait de la valeur absolue.

4)pour tous réels x et y compris entre -1 et 1 on a : |x2005-y2005|2005|x-y|.
La je crois qu'il faut résoudre cette inégalité ou bien la montrer avec des exemples.

5)Soit f la fonction définie pour x par f(x)=|x+| si x0 et |x-| si x<0. La fonction définie sur par h(x)=sin(f(x)) est continue dérivable en 0.
La je ne comprends rien .

Voila je bloque juste sur ces 5 affirmations, j'ai réussi à faire les autres mais celles la me posent problème.
Pouvez vous m'expliquez si elles sont vraies ou fausses car la je suis somplètement perdu.
Merci beaucoup et bonne fin de soirée

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Quelques affirmations 03-10-05 à 15:12

Je dirais ce qui suit, mais je ne suis pas un théoricien es mathématiques et donc reste à voir si mes approches collent avec ce que le prof. attend.

1)
Si f(x) -> oo pour une valeur de x différente des bornes de son domaine de définition, f(x) n'est pas continue sur tout cet ensemble.

--> C'est faux.
----

2)
Les 2 seules valeurs possibles pour f(x) sont -1 et 1 et donc f(x) = 0 est impossible.
Appliquer la méthode dichotomique pour trouver la solution est donc idiot, surtout que f(x) n'est pas continue pour x = V2
Néanmoins si on l'applique.

f(1) = -1 < 0
f(2) = 1 > 0
-> la solution si elle existait à f(x) = 0 serait dans ]1 ; 2[

f(1,5) > 0 --> la solution  si elle existait à f(x) = 0 serait dans [1 ; 1,5]

f(1,25) < 0 -->  la solution  si elle existait à f(x) = 0 serait dans [1,25 ; 1,5]

f(1,375) < 0 -->  la solution  si elle existait à f(x) = 0 serait dans [1,375 ; 1,5]

f(1,4375) > 0 -->  la solution  si elle existait à f(x) = 0 serait dans [1,375 ; 1,4375]

...

Les butées min et max des intervalles dans lesquels la solution éventuelle à f(x) se trouverait forment bien 2 suite adjecentes.
Puisque:
- Chaque terme de la butée min < que le terme correspondant de la butée max.
- La suite des termes de la butée min est croissante.
- La suite des termes de la butée max est décroissante.
- Les 2 suites convergent vers une même limite, soit racine carrée de 2.

N'empêche, on ne peut pas utiliser cette méthode si f(x) n'est pas continue dans les intervalles considérés.
-----
3)
f(x) n'est pas dérivable en x = Pi.
Les dérivées à gauche et à droite de Pi sont différentes.

--> C'est faux.
-----
4)
x = 1,1 et y = 1 -->
|x^2005 - y^2005| = 9,82...*10^82
2005.|x-y| = 2005*0,1 = 200,5

On n'a donc pas |x^2005 - y^2005| <= 2005|x-y|

--> c'est faux.
-----
5)
Juste à gauche de x = 0, h(x) = sin(Pi-x)
h'(0-) = -cos(Pi-0) = -cos(pi) = 1.

Juste à droite de x = 0, h(x) = sin(x+Pi)
h'(0+) = cos(0+Pi) = -1

h(x) n'est pas dérivable en 0 puisque les dérivées à gauche et à droite de 0 sont différentes.

Juste à gauche de x = 0, h(x) = sin(Pi-x)
h(0-) = sin(Pi) = 0

Juste à droite de x = 0, h(x) = sin(x+Pi)
h(0+) = sin(0+Pi) = 0

h(x) est continue en 0.

Donc h(x) est continue mais pas dérivable en 0.
-----

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Quelques affirmations 03-10-05 à 15:51

Bonjour lechoriste et J-P (Correcteur);
3) 3$\fbox{x\to f(x)=|x-\pi|sin(x)} est dérivable sur \mathbb{R}.
En effet,la dérivabilité de f sur \mathbb{R}-\{\pi\} ne posant pas de problème on a que:
3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}-\{\pi\}\\\frac{f(x)}{x-\pi}=\frac{|x-\pi|}{x-\pi}sin(x)} et donc que 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}-\{\pi\}\\|\frac{f(x)}{x-\pi}|=|sin(x)|} et donc que 4$\fbox{\lim_{x\to\pi}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}=0} donc f est bel et bien dérivable en \pi et 3$\fbox{f'(\pi)=0

Remarque:On a m^me que f est de classe C_1 sur \mathbb{R} car f' est continue en \pi vu que:
3$\fbox{f'(x)=\{{sin(x)+(x-\pi)cos(x)\hspace{5}si\hspace{5}x>\pi\\-sin(x)-(x-\pi)cos(x)\hspace{5}si\hspace{5}x<\pi} et donc que 4$\fbox{\lim_{x\to\pi}f'(x)=0}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Quelques affirmations 03-10-05 à 17:06

C'est vrai, pour la 3, on a bien:
Les dérivées à gauche et à droite de Pi = 0.

--> la 3 est vraie.


Posté par lechoriste (invité)re : Quelques affirmations 03-10-05 à 18:39

un énorme merci à vous deux, j'ai bien compris ce qu'il faut faire


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