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quelques DL personnels pour faire le point
Bonsoir , je "m'amuse" ( ça n'a rien d'amusant ) à me calculer des DL de fonctions à des ordres au hasard et j'aimerais votre avis sur mes méthodes surtout et mes calculs :
1. A l'ordre 3 , calculer le DL de ln(cos(x)) .
ln(1 - x²/2 + x³ E(x)) , je pose X = x²/2 , je me trouve avec un type ln(1-X) , ce qui me donne à l'ordre 3 :
-x²/2 + x³ E(x) .
2. A l'ordre 2 , cos (x + pi/4) .
On utilise la formule cos(a+b) , ce qui donne cos x * cos pi/4 - sin x sin pi/4 , soit (1-x²/2 + x² E(x)) V2/2 - (x + x²E(x))*V2/2 , ce qui donne :
V2/2 - x²V2/4 - xV2/2 + x² E(x) .
3. A l'ordre 2 , ln(x²-x+1) .
ln(x² (1 - 1/x + 1/x²)) = ln x² + ln(1 - 1/x + 1/x²) , on pose X = -1/x + 1/x² , on a une forme de type ln(1+X) , ce qui donne :
ln x² + 1/x - 1/x² + x² E(x) .
4. sin x * cos x à l'ordre 5 .
Alors ici inutile de calculer les 2 à l'ordre 5 , je prends le sinus à l'ordre 3 et le cos à l'ordre 2 , ce qui me fait :
(x - x³/3! + x³ E(x)) * (1 - x²/2 + x²E(x)) =
x - x³/2 + x³E(x) - x³/3! + x^5/12 + x^5 E(x) = x - 2x³/3 + x^5/12 + x^5 E(x) .
5. tan(x + pi/4) à l'ordre 3 .
Alors ici j'ai utilisé tan(a+b) , ce qui donne : tan x + 1 / 1 - tan x , soit :
(x - x³/3 + 1 + x³ E(x)) / (1 - x + x³/3 + x³ E(x)
Probleme ici : je vais quoi des E(x) au cube , je les divise ?
merci pour vos commentaires .
Salut !
j'ai aps regardé en entier, mais entous cas les methodes sont corectes.
pour la 5e, tu utilise un dévelopement de 1/(1-X)
avec X=x-x³/3+x^3.E(x)
Salut vous deux,
il faut quand même dire en quel point tu te places severinette!
Apparemment tu t'es placée au voisinage de 0 partout, à part au numéro 3 où tu t'es placée en l'infini, mais du coup tu n'obtiens pas un vrai développement puisqu'il y a autre chose que des puissances de 1/x.
Tu dois vraiment préciser où tu te places; d'ailleurs tu devrais essayer de te placer en d'autres points que 0, pour t'entraîner.
merci ksilver mais pour le dernier j'obtiens pas 1/1-X avec ton changement de variable mais X+1/1-X malheureusement...
salut tig , oui ce sont des DL en 0 , non au numéro 3 c'est un DL en 0 , j'ai utilisé la méthode que guitou m' montré ya quelques jours , mes DL sont justes à vue d'oeil ?
Dans ce cas le numéro 3 est faux puisque tu utilises un DL de ln(1+u) avec u qui tend vers l'infini puisque u=1/x.
A part ça, ça a l'air juste à vue de pif!
comment tu ferais alors pour le 3 ? faut faire tendre u vers 0 donc je peux poser u = 1 / (-1/x + 1/x²)) ?
Bonjour à tous
Severinette, ici >> 
méthode pour DL je n'ai pas factorisé par qqchose dépendant de x, mais par 2, une constante, ça change tout.
Si tu veux le DL en 0 à l'ordre 2 de , il suffit de faire le DL à l'ordre 2 de
avec
, et u tend bien vers 0
parfaitement compris , merci gui , tig et ksilver , je suis pas encore super forte mais je suis tjs moins nulle qu'avant en DL .
severinette-> essaie voir des DL en x=1 ou 2, c'est marrant et ça fait réfléchir à ce qu'on a le droit de faire ou pas!
tig , j'ai tjs appris en 0 moi c'est pas au programme le 1 et le 2 , mais juste pour la curiosité , en 1 par exemple , pour ln(x²-x+1) , son DL à l'ordre 2 est :
x - (x² + x^4 - 2x³)/2 , ce qui me fait : 1 . je dois en tirer quelle conséquence ?
En fait pour un DL en 1 tu peux poser u=1-x qui tend vers 0 puis remplacer pour avoir une fonction de u:
comme x=1-u, on doit faire un DL en 0 de
ln((1-u)²-(1-u)+1)=ln(1-u+u²)=ln(1-(u-u²))=-(u-u²)-(u-u²)²/2+u²E(u)=-(u-u²)-u²/2 +u²E(u) = -u+u²/2+u²E(u), sauf erreur.
Et il ne faut pas oublier de revenir aux x:
donc ln(x²-x+1)=(x-1)+(x-1)²/2 +(x-1)²E(1-x) avec lim E(1-x)=0 quand x tend vers 1.
je connais pas ces trucs théoriques c'est pas marqué dans mon cours , car quand tu cherches en 1 ou en pi/6 j'ai remarqué qu'à chaque fois on pose u = 1-x ou h = pi/6 + x ....
Oui, c'est pour se ramener à une variable qui tend vers 0, puisque la plupart des DL sont étudiés en 0 justement!
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