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Niveau terminale
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Quelques questions pour culture personnel ^^

Posté par
olive_68 26-03-09 à 00:02

Bonsoir ,

J'ai quelques questions dont je n'est pas réponse ^^


¤ Existe-t'il la dérivée de 4$x! ? Si oui c'est quoi ?

¤ 4$x^2!=1^2\times 2^2 \times 3^2 ....\times x^2 ?

¤ Comment savoir si un Dl ( dévellopement limité ) est en dessous ou au dessus de la courbe ( \to Position relative )

¤ Une fonction peut-être dérivable mais pas continue ou bien l'inverse ? je confond toujours ..et je ne sais jamais comment m'en souvenir..

¤ Comment vous savez tout ça ?


5$Merci   5$d^'avance

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:22

bonsoir
le factoriel n'est défini que pour des entiers positifs...

et la notion de dérivée n'a de sens que sur des intervalles de réels... donc la question ne se pose pas !

MM

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:25

Une fonction dérivable est a fortiori continue...

Par contre on peut avoir une fonction continue non dérivable...

Pour les cas "sympas" :
continu on trace la courbe sans lever le crayon
dérivable   on ne lève pas le crayon et en plus pas de point anguleux sur la courbe (on peut toujours tracer une tangente)

La fonction valeur absolue (sa courbe est un "V" est continue sur R, mais pas dérivable en 0

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:25

Ok

Merci pour la précision

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:26

Ah merci beaucoup ! je vais me la garder en exemple celle la
Ce sera un bon moyen de m'en souvenir ^^

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:28

pour le factoriel de x², prends un exemple !

1² 2² 3² = (3!)²=(6)²=36
et (3²)! = 9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362 880 36

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:33

A oui oui ok

Donc enfet \blue \fbox{\fbox{4$x^2!=1\times 2\times 3\times 4 ...\times (x^2-1) \times x^2}} ?

J'éspère avoir bien compris

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:36

oui... le produit des entiers de 1 à x² quoi !

Quand on se pose ce genre de question en math, le mieux est de tester l'idée sur des petits nombres... et on comprends mieux le fonctionnement des choses.

Pour les question de continuité et dérivabilité, si tu continues à faire des maths (pures) à plus haut niveau, tu verras des cas "pathologiques" du genre "fonction continue partout mais dérivable nulle part"... là cela devient intraçable... mais tellement amusant !

MM

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:39

J'imagine le tableau de variations de ce genre de fonction ?!

Oui c'est vrai j'avais essayé mais à la fin de compte je ne savais quand même pas quelle résultat était le bon puisque mes piles de calculatrice sont cuite ^^

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:39

(Euh en prépa MPSI on voit se genre de truc? je pense c'est quand même encore après non ? )

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:40

pas besoin de calculatrice pour "voir" que 9! est bien plus grand que 36

"la calculatrice est un bon esclave... mais un mauvais maître" !

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:41

disons qu'il est nécessaire de passer par une prépa (plutôt MP) ou une fac de math pures pour voir ce genre de choses (mais je ne sais plus à quel niveau on découvre ces bêtes curieuses !)

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 00:42

Ah ! Mdr je suis bête .. comment je n'est pas pu y penser de suite !

^^ Bonne citation

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 01:02

Petite question..

La factorisation de 4$x^4-5x^3+8x^2-5x+1 de sasa :

Comme 1 est racine évidente, on peut l'écrire sous la forme :

       4$(x-1)(x^3-4x^2+4x-1)

Or 1 est à nouveau racine évidente, donc c'est égale à :

      4$(x-1)(x-1)(x^2-3x+1)

On a donc un trinôme du seconde degré, \fbox{4$\Delta=5 >0} donc il y a deux racines réels, qui sont 4$\fr{3+\sqrt{5}}{2} et 4$\fr{3-\sqrt{5}}{2}

On a donc 4$x^4-5x^3+8x^2-5x+1=(x-1)(x-1)\(x-(\fr{3-\sqrt{5}}{2})\)\(x-(\fr{3+\sqrt{5}}{2})\) ?

Je ne l'ais pas poster la-bas parce que faut pas pousser .. c'est du niveau terminal enfet.. (J'avais pas vu au début que ça donneras une factorisation dans \mathbb{R} sinon je ne l'aurais pas poster mais bon maintenant que j'ai fais ça .. xD ça m'aurais fais mal au coeur de tout supprimer )

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 01:05

oui, cela est très bien...

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 01:07

Ok cool..

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 26-03-09 à 23:58

Bonsoir vous deux!

Et juste parce qu'Olive adorera ça, j'en suis convaincu:

on peut quand même donner du sens à l'expression x! lorsque x n'est plus un entier!

Il s'agit de la fonction Gamma, définie pour tout x par: 5$\blue\displaystyle\fbox{\Gamma( x)= \int_0^{+\infty} t^{x-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t}

(On peut même la définir pour tout z complexe (au lieu de x) de partie réelle strictement positive (eh oui, on peut aussi intégrer les fonctions à valeurs complexes!!))

Une intégration par parties montre que pour tout z on a la relation 5$\blue\displaystyle\fbox{\Gamma( z+1)= z\Gamma(z) qui implique immédiatement, avec 5$\blue\displaystyle\fbox{\Gamma(1)= 1 que pour tout n entier on a : 5$\blue\displaystyle\fbox{\Gamma( n+1)= n!

Autrement dit, si on convient que la notation x! désigne 5$\blue\displaystyle\fbox{\Gamma( x+1) , alors oui, on vient de prolonger à R (et même à une partie de C!) la notion de factorielle!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:00

PArdon, j'oubliais de préciser qu'il fallait supposer x > 0 pour que cette intégrale impropre ait un sens : bon en fait je l'ai quand même dit implicitement quand j'ai écrit que pour z complexe il fallait supposer Re(z) > 0

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:01

bonsoir Tigweg...

oui, je n'avais pas osé lui parler de la fonction Gamma !

je pense qu'il ne parlais que de la définition du factoriel vu en terminale... avec des entiers...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:02

Et il s'agit donc d'un prolongement de la notion de factorielle à R+* et non à R, désolé!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:03

Salut Alain!

Avec Olive, il faut oser!Plus c'est beau, plus il aime les maths!

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:06

on va pas tarder à embrayer sur la fonction dzéta si ça continue !!!!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:08

Ah ben on peut dérouler toutes les fonctions spéciales tant qu'on y est!

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:10

Waouh génial ! sérieusement ça me fait plaisir ce post

Tu as raisons ^^ j'adore je vais juste te poser une ou deux questions car un point ou deux me semble encore obscure ^^ je relis encore pour bien comprendre et je te demanderais après

Ou bien demain si ça fais tard pour toi après cette semaine péniblement chargé ^^

4$MERCI   4$BEAUCOUP

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:11

je disais juste cela car cette fonction dzéta permet de prolonger la somme de série 1/n^s là où elle ne converge pas au sens réel !

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:11

Ah j'avais pas vu que ça disctutais bien ici

Bonsoir MatheuxMatou

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:11

bonsoir Olive

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:16

C'est donc ça une intégrale impropre !!

Il paraît que ça porte bien son nom ...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:17

Alain -> Ok!Tu faisais donc référence à un autre post d'Olive sur la série harmonique!

Olive ->

Ta joie fait plaisir à voir, je n'en attendais pas moins de toi!

A propos, je viens de me rappeler pourquoi j'avais décidé de te parler de la fonction Gamma en relisant ton énoncé!

Cette magnifique fonction est non seulement dérivable sur R, mais elle l'est indéfiniment, de dérivée n ème la fonction:



5$\blue\displaystyle\fbox{\int_0^{+\infty}\; (\ell n\; t)^n .t^{x-1}\,.e^{-t}\,\mathrm{d}t}


Donc oui, la "fonction" x! est dérivable, en ce sens en tout cas!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:18

dérivable sur R+*, décidément!! Je vais y arriver!

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:20

"en ce sens"... oui, il vaut mieux préciser car ce n'est plus à proprement parler la fonction factorielle, mais un prolongement...! (ceci n'est pas un factoriel mais un point d'exclamation)

A ma connaissance le symbole factoriel (!) (ceci n'est pas un point d'exclamation) n'est défini que pour les entiers.

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:22

Bon... je crois que je vais aller me coucher...

Bonne nuit à tous les deux...

Alain

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:24

Oui oui, entièrement d'accord! J'ai bien écrit à 23h58 "si l'on convient que x! désigne..." !!! (ceci n'est pas une pipe! )

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:24

Ah bah oui que ça fait plaisir j'aimerais tellement en savoir autant que vous ...!
(Enfin bon une certitude c'est que si ça me plaît comme ça, je vais pas m'arrêter là niveau maths ^^)

Ce topic par tout droit dans mes favoris

Merci infiniment

(ça ce démontre pour une personne de mon niveau que la dérivée n-ième s'écrit de cette façon? où peut-être une "simple" récurrence? )

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:24

Bonne nuit Alain, vais pas tarder non plus moi!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:26

Avec plaisir Olive!

Au niveau terminale, non ça ne se démontre pas car il faut savoir ce qu'est une intégrale impropre...Cela dit, c'est vite défini, je pourrai t'apprendre si tu veux.Mais pas ce soir!

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:26

Bonne nuit

A bientôt sur l'île ^^

C'est sur il ce fait déjà 00h30 presque ^^ Et il faut être en forme pour demain si des tonnes de corrections t'attendent encore

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:26

continue comme cela et je suis persuadé qu'un jour tu en sauras plus que nous Olive (enfin je parle pour moi, sans préjuger de Tigweg !)... d'autant plus qu'en ce qui me concerne... j'aurais plutôt tendance à décroître

alain

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:29

Ah oui je veux bien Toujours partant !

Ah bon pourquoi pas ce soir ??

Bah merci beaucoup de prendre autant de temps pour partager ton savoir

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:32

Tu n'es pas le seul à régresser, Alain! Et ne te dévalorise pas: pour quelqu'un qui décroît", je te trouve assez impressionnant!

Je n'ose pas imaginer ce que c'était avant!


Olive -> Oui, je tombe là! Content si grâce à l'île tu aies envie de continuer les maths!
Bonne nuit à tous les deux!

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:35

^^ Merci bien mais je pense pas ^^ je crois que les 4 personnes les plus compétentes en maths que j'ai croisé sur ce forum sont vous deux ^^ (Hé ouais !) elhor et nightmare .. ce serais le comble d'arriver à votre niveau

Ah ben l'île te permet perdre trop vite tout ce que tu as dû apprendre je pense ..

A décroître ?? Qu'est-ce que c'était avant alors !!

En tout cas bravo, je peux qu'admirer ^^

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:38

Lol même réaction ^^

O lala toi aussi tu as ce sentiment de régrésser ??

C'est fou ça .. quand vous étiez au top de votre forme ça devait être quelque chose ..

Oui merci bonne nuit à vous à bientôt

Posté par
MatheuxMatoure : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:44

je vous trouve bien sympas tous les deux...

c'est vrai que j'ai découvert récemment l'ile et j'ai l'impression de refaire vraiment des maths... cela maintient en forme !

allez cette fois j'y vais !

bonne nuit à vous et à bientôt

alain

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 00:46

C'est réciproque pour ma part

^^

Bonne nuit a bientôt

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 08:54

Ouh là merci Olive!
Mais tu oublies beaucoup de personnes sur le site qui sont bien plus calées que moi en maths!

Et je suis convaincu moi aussi que tu progresseras très vite!

Bonne journée à vous deux!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 09:06

Autre chose : il te sera difficile de prouver la formule liant Gamma(z+1) à Gamma(z) avant Bac+2 quand même!

Il est tellement plus agréable de disposer des théorèmes de dérivation sous le signe intégral!

Sinon, quelles étaient les questions qui te taraudaient hier soir?

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 21:51

j'éspère ..

Ah bon .. :S ^^  Bah ce ne seras pas pour tout de suite alors ^^

Ben enfet je ne comprennais pas bien pourquoi

4$\blue \fbox{\fbox{\Gamma (n+1)=n!}

Mais enfet si 4$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n) mais c'est aussi égale à 4$n\times (n-1)\Gamma (n-1) etc jusque 4$n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1\Gamma (1)

Et 4$\fbox{\Gamma (1)=1} Donc voilà c'est bien claire maintenant ^^ j'étais fatigué hier ^^

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 21:53

Oui voilà!

Enfin ça c'est pour l'intuition! Je suis convaincu que tu aurais pensé à le démontrer par récurrence, sur une copie!

Posté par
olive_68re : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 22:08

Si j'avais eus à le démontrer oui j'aurais direct pensé récurrence ^^ (D'ailleurs je la fais vite..il me semble qu'elle ne soit pas trop compliqué ^^ )
Mais la j'avais pas penser à démontrer la formule mais plutôt la comprendre

Posté par
Tigweg Correcteurre : Quelques questions pour culture personnel ^^ 27-03-09 à 22:11

Je m'en doute bien, je te taquinais un peu!

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