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Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leurs ch

Posté par
lisalea 30-12-18 à 23:52

Bonjour,

Je me permets de faire appel à vos lumières !
Voici le problème de maths de mon DM :

"Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leurs chiffres (c'est-à-dire qu'ils s'écrivent à l'envers : 264 -> 462)"

Pour l'instant j'ai trouvé le premier nombre positif : 9 (si on le considère comme un nombre) et sinon 1089 (tout cela avec beaucoup d'imagination, d'essais, de postulats, de résultats faux qui ne servent à rien... etc... sans vraiment avoir une démonstration claire)

Pourriez-vous m'aider à résoudre ce problème, au moins en partie ? Ou ne serait-ce que me donner des pistes ?

Je vous remercie d'avance de votre attention et de votre aide,

Cordialement,

Lisa

Posté par
Alishisapre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 00:58

Salut,

voyons... En général, si tu multiplies un nombre par 9, le nombre de chiffres augmente de 1 : par exemple 20 devient 180. Or, nous on veut que le nombre initial et sa multiplication par 9 aient le même nombre de chiffres.
==> Donc le chiffre le plus à gauche d'un tel nombre doit forcément commencer par 1 (ce qui est le cas de 1089).

Oui mais, si le chiffre le plus à gauche du nombre commence par 1, alors en le multipliant par 9 il devient 9.
==> Par conséquent, le chiffre le plus à droite d'un tel nombre doit forcément être un 9 (ce qui est le cas de 1089).

Un tel nombre doit donc être de la forme 1......9

Voilà des débuts de piste...

Posté par
Mystrallre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 01:14

Bonjour Lisa

Hmm, pas évident comme question ! 1089 fonctionne, par contre 9 ne marche pas à moins que j'ai mal compris, car 9 * 9 = 81 et 81 n'a même pas le même nombre de chiffres que 9 :/

Une propriété utile ici est qu'un nombre est multiple de 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est aussi multiple de 9. Du coup, si un nombre N vérifie la propriété, il faut qu'il ait les mêmes chiffres que 9*N, donc la somme de ses chiffres doit être multiple de 9.

De plus, il faut que le premier chiffre de N soit 1 (car sinon 9*N aura plus de chiffres que N, impossible !)
Donc le cas où N a un seul chiffre n'est pas possible, ca voudrait dire N=1, mais 9*1=9 donc ca ne marche pas.

Pour le cas où N a deux chiffres, il faut que j'obtienne un 1 en multipliant le dernier chiffre de N par 9 : là, il faut tester : 1*9 = 9, 2*9=18, 3*9=27, 4*9=36, 5*9=45, 6*9=54, 7*9=63, 8*9=72, 9*9=81.. On voit que la seule possibilité, c'est que le dernier chiffre de N soit un 9. donc N=19, mais 19 ne marche pas car 9*19 = 171 ...

Pour le cas où N a trois chiffres, il commence par 1, fini par 9. Si on note x le chiffre du milieu, on doit avoir 1+x+9 multiple de 9 (propriété du début), donc la seule possibilité, c'est que x=8. Mais 189 ne marche pas car 9*189 = 1701 (il a trop de chiffres).

Donc on a montré que N a au moins 4 chiffres. C'est déjà ca...
Dans le cas où N a 4 chiffres, il commence par 1, fini par 9. Notons x et y les deux chiffres du milieu. Déjà, x doit être égal à 0 ou a 1 : si x est plus grand que 1, 9*N aura 5 chiffres, impossible.
Ensuite, on doit encore avoir 1+x+y+9 multiple de 9. Si x=1, il faut donc 11+y multiple de 9, donc y=7, mais 1179 * 9 = 10 611, ca ne marche pas. Si x=0, il faut donc 10+y multiple de 9, donc y=8. Là, on tombe sur ton nombre 1089, qui marche

Donc 1089 est le plus petit nombre entier qui vérifie ta propriété.

Après, pour 5 chiffres, cela se corse ...

On écrit N = 1 x y z 9 .  Il faut que x \in\left\{ 0,1\right\} .  Si x=1, on doit avoir aussi y \in \left\{0,1 \right\} (sinon trop de chiffres pour 9*N). Si y=1, il faut z=6, mais 11169 ne fonctionne pas. Si y=0, il faut z=7, mais 11079 ne fonctionne pas.
Donc x=0, et on a 1+y+z+9 multiple de 9, donc 10+y+z multiple de 9. Sauf que là, ca fait beaucoup de cas possibles.
(y,z)=(8,9),(9,8),(8,0),(0,8),(1,7),(7,1),(2,6),(6,2),(5,3),(3,5),(4,4)
Finalement en les testant tous, le seul qui marche c'est (y,z)=(9,8)
Ca donne alors N = 10989 , et 9*N = 98901 , wouhou ! ^^

Je n'ai pas le courage de faire plus loin haha, il y a peut être une résolution générale, mais ça me semble plutôt compliqué.. Après, il commence à se faire tard donc je fatigue un peu !
J'espère que mon pavé n'était pas trop indigeste :/ (même si je me doute de la réponse )

Posté par
kallistere : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 07:47


Bonjour,

La suite : 1 089     10 989     109 989     1 099 989     10 999 989 ...

Posté par
lisaleare : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 09:45

merci beaucoup à tous, je vois que vous ne dormez pas ! Quelle rapidité de réponse ! Je vais regarder ça dès que possible et vous tiens au courant en attendant je vous souhaite un joyeux réveillon

Alishisap oui c'est un peu près ce que j'ai fait dans mes recherches antérieures (en moins compréhensible hihi)

Mystrall... euh... (si si c'est un tout petit peu indigeste mais je vais prendre mon temps pour décortiquer tout ca, c'est très gentil d'avoir autant détaillé)

Kalliste ah oui je n'ai pas pensé à aller si loin

Bonne fin d'année à vous et à tout vite

Posté par
Alishisapre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 13:08

Si je puis me permettre (ce qui n'a rien à voir avec le sujet) : c'est très agréable d'aider des élèves aussi aimables que toi. Je tenais à le dire.

Bonnes fêtes à toi !

Posté par
Mystrallre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 13:13

+1, sans cela je n'aurais probablement pas eu le courage d'écrire mon pavé..

Bonnes fêtes à vous !

Posté par
kallistere : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 13:25


Bonjour,

Oui, tout à fait d'accord, c'est encourageant.

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 14:15

salut

n = \sum_0^pa_k10^k \\ \\ 9n = \sum_0^p a_{p - k}10^k \\ \\ 10n = n + 9n = \sum_0^p (a_k + a_{p - k})10^k = \sum_0^p a_k10^{k + 1}

or n et 9n ont même nombre de chiffres donc a_0 + a_p = 10 => (a_0 = 9 $ et $ a_p = 1)  car x > 1 => 9x > 10

et   k > 0 => a_k + a_{p - k} + r_{k - 1}\equiv a_{k - 1}  [10] avec r_k = retenue prenant la valeur 0 ou 1 puisque 9 + 9 < 19

on en déduit alors

a_1 + a_{p - 1} + 1 \equiv 9  [10] \\ a_2 + a_{p - 2} + r_1 \equiv a_1  [10] \\ a_3 + a_{p - 3} + r_2 \equiv a_2  [10] \\ ...

car a_0 + a_p= 10 => il y a une retenue

...

Posté par
lisaleare : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 15:07

Re-bonjour tout le monde

Finalement j'ai eu un peu de temps aujourd'hui pour regarder vos réponses en détails ! Je ne sais pas ce que vous faites comme études mais j'espère que vous n'êtes plus au lycée sinon j'aurais du soucis à me faire... lol

Alishisap : tout compris merci

Mystrall :  tout compris... j'avoue, un peu galéré sur les 5 chiffres mais vous vous donnez du mal pour bien expliquer ! Et effectivement, je me suis trompée, 9 n'est pas le plus petit positif (9*9=81...évidement !! quelle quetsche !!) Ce n'est pas grave du tout si vous n'avez pas été plus loin, ce n'est pas votre DM, vous m'avez déjà beaucoup aidée, merci beaucoup, et j'ai l'impression que ce sujet de DM ne rentre pas dans le programme de première S (du moins surtout étant une élève moyenne en maths...) ça sera largement suffisant et pis j'ai encore toutes les vacances pour y réfléchir

Kalliste : merci pour la suite !!

Carpediem : oyé oyé merci mais je suis vraiment désolée, je vous ai fait perdre votre temps car je ne connais même pas tous ces sigles !!!! mdrrrr mais j'espère que c'est la réponse générale du coup, mystère résolu

Et c'est très gentil mais de rien, c'est simplement de la politesse...

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 17:23

n = \sum_0^p a_k 10^k

EX :   n = 34125 = 3 \times 10^4 + 4 \times 10^3 + 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 5 \times 10^0

9n et n sont palindromes donc  9n = \sum_0^p a_{p - k}10^k

\equiv  est la relation de congruence entre entiers :  45 et 34125 sont congrus modulo 10 car ils ont le même reste dans la division par 10

en gros tu regardes les chiffre des unités quand tu travailles modulo 10

ainsi a_1 + a_{p - 1} + 1 \equiv 9  [10]  signifie que a_1 + a_{p - 1} + 1 = 9 $ ou $ = 19 puisque la retenue ne peut être que 0 ou 1 quand on ajoute deux chiffres

et puisque 19 n'est pas possible car 9 + 9 < 19 on retrouve le résultat déjà donné



malheureusement je n'ai pas fini pratiquement !! (mais théoriquement oui) à cause de ces pb de retenues éventuelles


c'est effectivement un peu dur en première S et je suis curieux de voir la correction de ton prof

tiens nous au courant et merci par avance

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 18:00

Bonsoir,
Que pensez-vous de 11999...999 ?
Et de 108910891089....1089 ?

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 31-12-18 à 18:19

rien du tout !!! ... mais pourquoi pas ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 09:56

Un petit dernier pour la nouvelle année : 108900000...00001089
Encore plus facile à justifier que 108910891089....10891089

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 13:10

bon pour finir  continuer encore un peu !!   

      ap    ap - 1  ap - 2     ..........       a3    a2     a1     a0
+     a0     a1    a2    .........         ap - 3  ap - 2   ap - 1    ap
------------------------------------------------------------------
ap    ap - 1    ap - 2     ap - 3      .......    a2    a1      a0    0


carpediem @ 31-12-2018 à 14:15

on en déduit alors

a_1 + a_{p - 1} + 1 \equiv 9  [10] \\ a_2 + a_{p - 2} + r_1 \equiv a_1  [10] \\ a_3 + a_{p - 3} + r_2 \equiv a_2  [10] \\ ... \\ a_{p - 2} + a_2 \equiv a_{p - 3}  [10] \\ a_{p - 1} + a_1 \equiv a_{p - 2}  [10] \\ a_p + a_0 \equiv a_{p - 1}  [10]

car a_0 + a_p= 10 => il y a une retenue


on en déduit alors que a_{p - 1} = 0 donc a_1 = 8


il faut alors discuter suivant les retenues éventuelles:

a_2 + a_{p - 2} = 8  (ou  18) \\ a_3 + a_{p - 3} + r_2 = a_2  (ou  10 + a_2) \\ ... \\ a_{p - 2} + a_2 + r_{p - 3} = a_{p - 3}  (ou  10 + a_{p - 3}) \\ 0 + 8 + r_{p - 2} = a_{p - 2}

la première permet de conclure que a_2 = a_{p - 2} = 9 et il y a une retenue

ou a_2 $ et $ a_{p - 2} prennent toutes les valeurs donnant la somme 8 : 0 + 8 = 1 + 7 = ... = 8 + 0  et il n'y a pas de retenue

or la dernière permet de conclure que a_{p - 2} \ge 8

si a_{p - 2} = 8 alors la première dit que a_2 = 0 = r_{p - 2} = r_2


....

on a aussi les nombres 10999...999989

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 17:51

Bonsoir,
Pas mal l'addition
J'ai cherché dans une autre direction : Construire des solutions à partir de la plus petite solution 1089 .

Si S est une solution, alors on peut combiner des S et des 0 de manière symétrique.
Avec S = 1089 par exemple, on peut trouver
T = 10890000001089000108900010890000001089 .
9T = 98010000009801000980100098010000009801 .

Les premiers chiffres d'une solution semblent ne pouvoir être que 108 ou 109 .
Plus précis :
Si c'est 108 alors c'est un 9 qui vient après.
Sinon, c'est 109 , suivi éventuellement d'autres 9 puis de 89.
Exemple avec 109 : 10999890001099989

On peut aussi mélanger 2 solutions S et S' et y saupoudrer quelques 0.
Avec S = 1089 et S' = 10999989 , on peut trouver 10890010999989001089 .

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 17:58

j'en étais arrivé à ce stade ...

mais de la à le prouver rigoureusement !!!

ma démonstration montre qu'on peut effectivement choisir 089 ou 989 comme derniers chiffres (et 089 impose 1089)

les trois premiers étant alors 9801 et 989

...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 18:18

"les trois premiers étant alors 9801 et 989"

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 18:52

n = 9801.......1089 ou n = 989....989

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 19:02

Je suis larguée là

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 19:18

n = 9801xxxxxxxxx....xxxxxxx1089 ou n = 989xxxxx.....xxxxxxx989

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 19:32

Il y a un truc qui cloche.
Ce serait pas plutôt 1089......1089 ?

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 01-01-19 à 20:15

oui effectivement

je me mélange les pinceaux entre n et 9n !!!

Posté par
lisaleare : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 00:21

Re-bonsoir,

Carpediem : je vois que tu ne lâches pas le morceau, tu devrais me donner un peu de ta persévérance ^^ ok dès que j'ai le corrigé je vous transmets la correction de mon prof de maths

Sylvieg : bonsoir et bienvenue sur mon topic, merci pour ta réponse, ça apportera un peu d'eau  à mon moulin

Maintenant je vous laisse vous mettre d'accord tous les deux... ce n'est pas moi qui vais pouvoir malheureusement vous départager mdrrrr

[b]Et pour finir, bonne année et surtout bonne santé pour cette nouvelle année saupoudré de beaucoup  de bonheur à vous et sur vos proches
[/b]

Lisa

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 02:24

ok merci

et bonne année à toi aussi  


t'inquiètes pas Sylvieg et moi sommes tous les deux d'accord ... mais elle un peu moins que moi !!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 09:53

Ou toi un plus que moi ?

Bonne année à tous les deux !
Je suis aussi très curieuse de voir les éléments de la correction de ton prof

Posté par
lakere : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 12:13

Bonjour à tous et bonne année!

J'ai lu en diagonale et je ne sais pas si ça a été dit mais à partir de:

   9N=R

  R est un multiple de 9 et du coup N est aussi un multiple de 9.

  Une génération de certaines solutions est obtenue avec les produits:

    N=9\times 122\cdots221

  bien entendu, pas toutes: il y a aussi celles avec le saupoudrage de zéros de Sylvieg

J'ai peut-être enfoncé une porte ouverte ?

Posté par
lakere : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 13:06

... qu'on peut encore écrire N=11(10^n-1) (le produit de 99 par un repunit )

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 13:22

pourquoi n serait-il multiple de 9 ?

Posté par
Alishisapre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 13:24

=== Remarque n'aidant pas au DM ===

On peut généraliser le problème : si k et n sont des naturels non nuls, on dit que n est k-symétrique si n et kn sont "symétriques". Ainsi, 1089 est 9-symétrique.

- Il n'existe évidemment pas d'entiers k-symétrique avec k >= 10
- Les entiers 1-symétriques sont exactement les palindromes.
- 2178, 21978, 219978 sont 4-symétriques (on peut visiblement former une famille infinie)
- Il n'existe aucun entier < 10^6 qui soit k-symétrique avec k dans [1; 10]\{1,4,9}

Bonne nouvelle année.

Posté par
lakere : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 13:29

Citation :
pourquoi n serait-il multiple de 9 ?


9N=R

Donc R est multiple de 9 et la somme de ses chiffres est multiple de 9 donc la somme des chiffres de N est aussi multiple de 9 donc N est multiple de 9.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 14:13

Bonjour lake,
Contente que tu t'intéresses au sujet
J'avais évoqué 11999....999 qui ressemble à ton N=11(10^n-1) , qui s'écrit aussi 99111....111 .

Merci aussi Alishisap pour l'ouverture.
L'expression k-symétrique est-elle classique ou ta création personnelle ?

Là, je n'ai pas trop le temps, mais je regarderai vos contributions avec attention.

Je corrige, un peu tardivement, mon dernier message en réponse à " t'inquiètes pas Sylvieg et moi sommes tous les deux d'accord ... mais elle un peu moins que moi !!! " :
" Ou toi un peu plus que moi ? "

Posté par
Alishisapre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 14:16

Sylvieg c'est une invention

Posté par
lakere : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 14:20

Bonjour Sylvieg,

    

Citation :
J'avais évoqué  11999....999  qui ressemble à ton ...


Ah! j'ai vraiment lu en diagonale; j'avais loupé ce passage là!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 16:17


J'ai trouvé quelques documents en anglais. Aïe Aïe Aïe ! Accrochez-vous…
Ce sont d'horribles pavés indigestes :

Il y a aussi le merveilleux site de l'OEIS.

Pas le courage d'approfondir pour l'instant

Posté par
carpediemre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 17:02

c'est exactement ce que je pensais !! et j'allais le dire !!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 02-01-19 à 17:09

Pour une fois nous sommes d'accord, mais moi un plus que toi

Posté par
Mystrallre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 03-01-19 à 13:29

Bonne année à tous, même si j'arrive un peu tard

Au vu des différentes réponses, la question n'a clairement pas l'air d'être de niveau Première S haha, peut être qu'un énoncé déjà un peu plus abordable aurait été "Quel est le plus petit nombre qui vérifie cette propriété", ce qui me semble déjà pas si mal à ce niveau.

Éventuellement, en terminale S spé maths, on peut aller un peu plus loin en utilisant les congruences (ce qu'a fait carpediem dans son premier message), mais bon..

J'attends aussi la correction du prof
Mais ca reste une question intéressante !

Posté par
Alishisapre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 03-01-19 à 14:23

On peut aussi imaginer que la prof voulait en fait simplement que les élèves trouvent une famille infinie d'entiers vérifiant cette propriété et qu'elle a mal formulé la question (c'est une hypothèse).

Car en effet je rejoins Mystrall, ce n'est pas "un peu dur pour un Première S" comme le dit carpediem, mais carrément archi difficile.
C'est le genre de questions qu'on s'attend à voir aux olympiades ou concours général (et encore, avec indications), mais la question telle quelle et sans indication pour un DM de première S, j'avoue que je comprends pas trop (à moins que ce ne soit qu'une sorte de question bonus à la fin du DM, pour les élèves curieux qui aiment chercher, alors là OK je comprends)...

Comme les autres je suis curieux de voir la correction (même si ça me semble mal parti : l'auteure semble s'être désinscrite)...

Posté par
Alishisapre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 03-01-19 à 14:25

Pardon : le ou la prof.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 03-01-19 à 17:45

Bonsoir,
En fait, telle que la question est posée, elle me semble n'être d'aucun niveau.
Rappel : ""Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leurs chiffres (c'est-à-dire qu'ils s'écrivent à l'envers : 264 -> 462)"
Je ne vois pas non plus les indications qui pourraient être données pour qu'un réponse complète puisse être trouvée à cette question là.

Pour les curieux, les nombres k-symétriques envisagés par Alishisap se nomment des "palintiples".
"palin" pour palindrome et "tiple" pour multiple.

J'aimerais bien comprendre pourquoi lisalea s'est désinscrit

Posté par
Alishisapre : Quels sont les nombres qui, multipliés par 9, inversent leu 03-01-19 à 18:19

Oui, on pourrait dire "palinmultiples" dans la langue de Molière

J'ai regardé en diagonale tes pages Sylvieg mais c'est chaud...


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