bonjour Govan.

Permettez moi d'essayer de vous répondre car je ne connais pas tout l'énoncé.


a-bq peut être le reste de la division de a par b:

a=bq+r avec 0<=r<b

donc r=a-bq  

di d divise a et b donc d divise r=a-bq donc d divise pgcd(a,a-bq)

donc PGCD(a,b) divise pgcd(a,a-bq).

maintenant comme a-bq<b donc pgcd(a,a-bq)<=pgcd(a,b) ; question de bon sens.

donc en résumé on a montré que:
PGCD(a,b) divise pgcd(a,a-bq).
et
pgcd(a,a-bq)<=pgcd(a,b)
donc
pgcd(a,a-bq)=pgcd(a,b)

pour répondre à votre question d'ajouter etc. et quelles sont les
règles, c'est les règles des propriétés des diviseurs dans Z.

et souvent le théorème de bésout est très utile car il lie a,b et leur
pgcd par une relation du type:

il existe (u,v)EZ² tels que:

ua+vb=d    ;  où d=pgcd(a,b)

et cette relation linéaire ua+vb=d vous permet d'effectuer des
additions soustraction etc.

par exmple pour redémontrer que:

pgcd(a,b)=pgcd(b,a-bq) vous procédez de cette manière.

pgcd(a,b)=d donc

il existe (u,v)EZ² tels que:

ua+vb=d    ;  

maintenant ajouter et retrancher u(bq) dans le premier membre alors:

ua+u(bq)-ubq+vb=d

donc u(a-bq)+(uq+v)b=d

donc on a montrer qu'ils existent u'=u et v'=uq+v éléments
de Z tels que:

u'(a-bq)+v'b=d

donc d=pgcd(a-bq,b)

voila un essaie de réponse.

j'espère que j'ai répondu à votre question.

bon courage.

d'accord,je comprends mieux ms tout de meme lorsque vous dites:
"si d divise a et b donc d divise r=a-bq donc d divise pgcd(a,a-bq)",
je ne vois pas prq cela divise automatiquement r... merci de mexpliquer.!

c'est poutant évident:

si d divise a et b alors il existe a' et b' tels que a=da'
et b=db'

r=a-bq=da'-db'q= d(a'-b'q)

donc d divise r.

voila

ok, c bon ! je vous remercie