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Question / courbe de la forme canonique trinome 2nd degre
Bonjour, 
Je me permets de venir sur ce forum, parce que je me pose des questions sur la fonction trinome du second degré.
C'est la signification de la forme canonique sur laquelle je bute.
Pour la forme développée f(x) = ax² + bx + c, je crois avoir compris les choses suivantes :
ax² --> fonction carrée
--> courbe en parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
bx + c --> fonction affine
--> ligne droite symétrique par rapport à l'origine.
ax² + bx + c --> fonction trinôme du second degré
--> courbe ressemblant à une parabole en première approximation mais en réalité non symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ni par rapport à aucun autre axe.
Il est possible de voir mon raisonnement sur l'image en pièce jointe.
*
* *
Concernant la forme canonique en rouge : f(x) = ax² + bx + c = a(x - 𝛂)² + β
a, b et c sont des constantes numériques indépendantes de x.
𝛂 et β sont elles aussi des constantes indépendantes de x.
𝛂 et β étant des constantes numériques indépendantes de l'abscisse, cela revient à dire que :
f(x) sous la forme canonique est une fonction carrée dont la parabole est symétrique à l'axe des ordonnées.
f(x) sous la forme développée n'est pas une fonction carrée dont la parabole est symétrique à l'axe des ordonnées.
Qu'en pensez-vous ? Quelle est mon erreur de raisonnement ?
Voilà, merci d'avance à toutes les réponses !
salut
il y a des bêtises ...
qu'elle soit écrite sous forme développée, factorisée ou canonique une fonction trinome est représentée par une courbe qui est une parabole et cette fonction est une fonction carrée
et si alors la courbe P de f est la translatée de la courbe C de la fonction carrée
(par la translation de vecteur
où S est le sommet de la parabole de coordonnées (s, m) (m est l'extremum de f)
le coefficient a étant simplement un coefficient de dilatation de la fonction carrée de référence
Bonjour,
Oui, je me doute qu'il y a des bétises.
Pour essayer de le dire autrement, la fonction f(x) = ax² + bx + c aurait bien un axe de symétrie, mais que celui-ci ne serait pas orthogonal à l'axe des abscisses ?
Bonjour
toutes les fonctions du type f : x 
ax²+bx+c avec a non nul admette une courbe d'axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées, donc en repère orthogonal, perpendiculaire à l'axe des abscisses
Bonjour !
C'est laborieux mais ça rentre petit à petit
Cela fonctionne bien avec l'exemple numérique ci-dessous.
| f(x) avec a =2, b=-20, c=0 | x=-10 | x=0 | x=10 | x=-b/2a = 5 |
| f(x) = ax² | f(-10)=200 | f(0)=0 | f(10)=200 | f(5)=50 |
| f(x) = ax² + b | f(-10)=400 | f(0)=0 | f(10)=0 | f(5)=-50 |
Pour faire simple, ma compréhension de la forme canonique était correcte, c'était ma compréhension de la forme développée qui était mauvaise !
Merci beaucoup, bonne fin de dimanche
PS :
le coefficient a étant simplement un coefficient de dilatation de la fonction carrée de référence
donc cette dilatation et la translation conservent l'orthogonalité de l'axe de symétrie de la courbe avec l'axe des abscisses
Merci !
C'est plus l'effet du bx que j'avais du mal à comprendre.
Grace à vos réponses je comprends que pour b>0 il "ouvre" la parabole et il la déplace aussi, mais que la parabole reste une parabole et garde sa symétrie axiale.
non ce n'est pas le coefficient b qui ouvre ou ferme la parabole c'est le coefficient a (comme je l'ai dit plus haut)
le coefficient b intervient dans la translation (déplacement du sommet)
sur ton graphique ax^2 et ax^2 + bx sont identiques à translation près et ont toutes les deux un axe de symétrie perpendiculaire à l'axe des abscisses
Ah oui
J'avais vraiment un souci de visualisation sur l'effet de bx.
C'était là mon problème.
Merci de me l'avoir bien précisé !
Je me permets de revenir
Je vois tout à fait l'ouverture liée au coefficient a, je vois aussi la translation du sommet liée à bx.
J'espère ne pas abuser, je vois quand même une petite ouverture complémentaire liée à bx
En notant x(absi) l'abscisse de l'axe de symétrie :
| f(x) avec a =2, b=-20, c=0 | axe de symetrie | x=
x(absi)-45 | x=
x(absi)-10 | x=
x(abs) | x=
x(absi)+10 | x=
x(absi)+45 |
| f(x) = ax² | x(absi)=x0=0 | x=-45
f(-45)=4050 | x=-10
f(-10)=200 | x=0
f(0)=0 | x=10
f(10)=200 | x=45
f(45)=4050 |
| f(x) = ax² + b | x(absi)=-b/2a = 5 | x=-40
f(-40)=4000 | x=-5
f(-5)=150 | [/td]x=5
f(5)=-50 (minimum) | x=15
f(5)=+150 | x=50
f(5)=+4000 |
Pour une distance à l'axe de symétrie de +/-45, selon ma compréhension il y aurait finalement une légère fermeture liée à bx de 4050 - 4000 = 50.
Ah oui
et comme le nouveau minimum est à f(5)=-50 
La différence de niveau est bien de 4000 - (-50) = 4050 pour le 2eme exemple de mon tableau :
x = -b/2a
f(x) = ax*2 + bx
C'est subtil
Bon, merci encore
si
le coefficient a étant simplement un coefficient de dilatation de la fonction carrée de référence
et cela que c soit nul ou pas !!
il suffit d'exprimer s et m en fonction de a, b et c
et tu vois bien que a "est le même" dans les deux expressions !!
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