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Question démonstration extremas liés

Posté par
helocla69 13-05-23 à 19:24

Bonjour,

Je lisais la démonstration du théorème des extremas liés du polycopié suivant (p. 19)
https://www.ljll.math.upmc.fr/abadiej/documents/3M260-2016/CalculDiff_FredericLeRoux.pdf
je ne comprends pas pourquoi s=E_0^\bot, en effet pour moi S=\cap_{i=1}^p Ker(\phi_i) pour dire qu'il est égal à l'orthogonal de  E_0=Vect(\nabla \phi_1, \dots, \nabla \phi_n), il faut une condition supplémentaire, cela ne découle pas que d'un résultat d'algèbre linéaire comme semble le suggérer l'indication donnée dans la preuve.
Merci pour votre aide,
Bonne fin de journée,

Posté par
Ulmierere : Question démonstration extremas liés 13-05-23 à 20:57

Une application linéaire est sa propre différentielle, donc le gradient (vecteur colonne) d'une forme linéaire (vecteur ligne) n'est rien d'autre que la transposée de sa matrice.

Donc u \in\ker\phi \iff \phi(u) = 0 \iff \Phi u = 0\iff (\nabla \phi)^T u = 0 \iff \langle \nabla\phi, u\rangle = 0 \iff u\in (\nabla\phi)^\perp

Ainsi, si x\in S, alors x\in\ker\phi_i pour tout i et donc x est orthogonal à chacun des \nabla\phi_i, et donc à leurs combinaisons linéaires. Donc S\subseteq E_0^\perp

Réciproquement, si x est orthogonal à E_0 il est en particulier orthogonal à chauqe \nabla\phi_i donc il est dans le noyau de chaque \phi_i, et donc x\in S.

Posté par
helocla69re : Question démonstration extremas liés 14-05-23 à 08:34

Merci infiniment d'avoir pris le temps de me répondre.

En effet, tout s'éclaire !

Bon week-end

Posté par
malou Webmasterre : Question démonstration extremas liés 14-05-23 à 17:14

Bonjour à tous les deux,
helocla69, je te remercie dorénavant de recopier au minimum quelques lignes de ton sujet, afin d'aider au référencement des sujets sur notre site.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?



Ulmiere qui connaît très bien nos règles pouvait d'ailleurs t'en faire la remarque, sans attendre qu'un modérateur ne passe sur ton sujet.
Merci d'en tenir compte désormais.


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