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Niveau IUT/DUT
Question dérivée polynôme et nombres premiers
Posté par jbbarreau
Bonjour,
Veuillez m'excuser je suis complètement béotien dans ce domaine, mais je me permets de vous contacter car je suis chargé d'enseignement vacataire en informatique et je suis confronté à la problématique suivante:
Je rédige des exercices de python et suite à la lecture d'un article dans le Pour la science de ce mois, j'ai tenté de proposer l'écriture d'une fonction faisant le compte des nombres premiers ayant la propriété décrite avec l'exemple suivant de 197. Si on fait correspondre 197 au polynôme P(x)=1*x^2+9*x+7, P'(x)=2*x+9 et 29 est premier. J'avoue avoir pensé à ça plutôt par hasard.
En faisant la courbe de la fonction de compte des nombres premiers et celle des nombres premiers ayant la propriété décrite précédemment, j'obtiens le résultat dans l'image suivante.
Je voulais ainsi savoir s'il existe des choses (relativement simples) à lire sur ce sujet, sur l'allure de cette courbe etc.
Bien à vous
Bonjour,
Quel est l'objectif de votre exercice?
au passage pour le nombre premier 179 on a :
P(x)=1*x^2+7*x+9, P'(x)=2*x+7 et 27=3*9 n' est pas premier.
A priori, pas grand chose existe sur le sujet. Dans l'exemple que tu donnes, partant de 7(premier), tu tombes sur
(premier aussi).
Mais C'est un exemple construit sur mesure. S'il y avait une vague corrélation : partant d'un nombre premier, on tombe souvent sur un nombre premier, et partant d'un nombre composé, on tombe souvent sur un nombre composé, alors, c'est à peu près sur que le sujet aurait été étudié ici ou là.
Mais ce n'est pas le cas (en tout cas, ce serait une grosse surprise!). Le fait que soit premier ou non n'influe pas du tout sur la proba d'avoir un
premier.
L'allure de la courbe bleue. Cette courbe est classique. La proportion des nombres premiers a beaucoup été étudiée. cf un truc aussi courant que 
.
Pour la courbe orange, On peut déjà s'intéresser à , et à son ordre de grandeur.
En gros, plus grandit, plus
2 grandit aussi. Avec quelques petits accidents de parcours minimes. Et
grandit plus vite que
.
Pour les petits nombres (,
)
est proche de 7
En gros est de l'ordre de
, où log est la fonction logarithme en base 10.
Connaissant , on connait l'ordre de grandeur de
; on connait donc sa probabilité d'être premier. et donc on sait estimer une équation de cette courbe orange même pour des nombres très grands.