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question sur des inégalités

Posté par
tomsoyer 16-06-20 à 18:20

Bonjour,

Soit u une application linéaire d'un espace vectoriel normé E dans  un espace vectoriel normé F.
Notons \left\Vert . \right\Vert _E et \left\Vert . \right\Vert _F les normes respectives de ces espaces vectoriels normés.
Alors, u est continue sur E si et seulement s'il existe une constante M \geq 0 telle que, pour tout x \in E,

\left\Vert u(x)\right\Vert_F \leq M \left\Vert x \right\Vert _E



De plus,  la "meilleur" constante M s'appelle la norme d'application linéaire \left\Vert u \right\Vert de u. On a

\left\Vert u \right\Vert= sup_{x\neq0} \frac{\left\Vert u(x)\right\Vert_F}{\left\Vert x \right\Vert _E}= sup_{\left\Vert x \right\Vert _E\leq 1} \left\Vert u(x)\right\Vert_F=sup_{\left\Vert x \right\Vert _E= 1} \left\Vert u(x)\right\Vert_F

Malheureusement, je ne parviens pas à comprendre ces dernières inégalités.
Pourriez vous me l'expliquer ?

Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : question sur des inégalités 16-06-20 à 18:47

salut

si u est linéaire alors u(kx) = ku(x)

et pour tout vecteur x non nul on a x = ||x|| \dfrac x {||x||}

Posté par
tomsoyerre : question sur des inégalités 17-06-20 à 15:06

Salut carpediem

Je crains, et j'en suis désolé, ne pas aboutir.

Pourrai tu m'éclairer ?

Merci

Posté par
carpediemre : question sur des inégalités 17-06-20 à 15:28

\dfrac {||u(x)||} {||x||} = \left\Vert u \left( \dfrac x {||x||} \right) \right\Vert

quelle est la norme de x/||x|| ?

Posté par
tomsoyerre : question sur des inégalités 17-06-20 à 15:49

Cela donne \left\Vert \frac{x}{\left\Vert x \right\Vert }\right\Vert= \frac{\left\Vert x \right\Vert}{\left\Vert x \right\Vert } =1 .

Mais d'où peut-on importer cette norme ?

Posté par
carpediemre : question sur des inégalités 17-06-20 à 16:14

je ne comprends pas ta question ...

Posté par
tomsoyerre : question sur des inégalités 17-06-20 à 16:25

pardon.

En faite, je n'arrive pas à voir la finalité de la démonstration.

Posté par
tomsoyerre : question sur des inégalités 17-06-20 à 16:36

pour montrer ces égalités.

Posté par
carpediemre : question sur des inégalités 17-06-20 à 18:57



posons n = ||x||

||u(x)||/||x|| = ||u(nx/n)||/n = ||n(u(x/n)||/n = ||u(x/n)|| et ||x/n|| = 1

ce qui montre que le sup pour x <> 0 est le sup pour ||x|| = 1

d'autre par ce qui est vrai pour le réel (strictement positif n) est en fait fait pour tout réel k

puisque si y = kx alors ||u(y)||/||y|| = ||u(x)||/||x||

donc le sup pour x <> 0 est égal au sup pour ||x|| <= 1 ...

Posté par
tomsoyerre : question sur des inégalités 18-06-20 à 14:02

Ah mais oui !

Je bloquais sur une étape de la démonstration.

Merci, merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'expliquer !

Posté par
carpediemre : question sur des inégalités 18-06-20 à 18:14

de rien


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