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Question sur l'unicité d'une fonction

Posté par
ZiYun 10-05-19 à 03:06

Bonjour,

Je bloque sur une question d'un exercice qui demande de prouver l'unicité d'une fonction qui vérifie certaines conditions.
On pose pour tout n\in N^{*} la fonction définie sur +*: u_{n}(x)=xln(1+\frac{1}{n})-ln(1+\frac{x}{n}). On montre que si x>0 alors la série u_{n}(x)=\sum_{n\geq 1}^{}{u_{n}(x)} converge. Et on pose pour tout x>0 : u_{n}(x)=f(x)=-ln(x)+\sum_{n=1}^{+\infty }{u_{n}(x)} et on veut montrer que f est l'unique fonction de classe C1 qui est convexe sur +* et f(1)=0 et f(x+1)-f(x)=ln(x).

Je ne sais pas comment prouver l'unicité. Vu la condition f(1)=0 , j'aimerai bien utiliser l'équation fonctionnelle que vérifie f et sa convexité pour en déduire une équation différentielle sur f et utiliser Cauchy-Lipschitz, mais je n'y arrive pas. Je ne sais pas quoi faire d'autre, par l'absurde on suppose l'existence d'une autre fonction qui vérifie les même conditions mais je ne sais pas quoi en faire.

J'espère que vous pourrez m'aider dans ces raisonnements d'unicité.

Merci d'avance,

Posté par
boninmire : Question sur l'unicité d'une fonction 10-05-19 à 11:55

Bonjour,

Dans ton message, un(x) désigne trois expressions distinctes.
Du coup je crains que tu sois mal parti pour prouver une question d'unicité.
Peux-tu rectifier ton énoncé, et éventuellement préciser tout ce que tu as démontré et essayé ?

Posté par
Poncarguesre : Question sur l'unicité d'une fonction 10-05-19 à 12:19

Bon deja y a des trucs bizarres dans ce que tu écris, par exemple

ZiYun @ 10-05-2019 à 03:06

la série u_{n}(x)=\sum_{n\geq 1}^{}{u_{n}(x)} converge.


ou

Citation :
Et on pose pour tout x>0 : u_{n}(x)=f(x)=-ln(x)+\sum_{n=1}^{+\infty }{u_{n}(x)}

Mais passons.

Tu as f(x+1)-f(x)=\log(x) et donc f(x+n+1)-f(x+n)=\log(x+n), bien sur au moins formellement f(x)=\sum f(x+i+1)-f(x+i), mais  f(x+i+1)-f(x+i) n'a aucune raison d'etre le terme général d'une serie convergente, donc l'égalité reste formelle... mais f est convexe. Essaie d'utiliser la construction de u_n pour ecrire la difference f(x+n+1)-f(x+n) differement et avoir une série convergente.

Posté par
Poncarguesre : Question sur l'unicité d'une fonction 10-05-19 à 12:59

Plus simple encore, je pense.
Supposes que g est une autre fonction convexe satisfaisant l'equation fonctionnelle de f, alors montre que g-f est convexe et périodique.

Posté par
ZiYunre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 14:11

Bonjour,

Je m'excuse pour les bizarreries que j'ai écrit dans mon premier message.
Je ne pense pas que les solutions marchent, car pour la première on ne connaît pas la limite de f en + . Pour la deuxième, je n'arrive pas à montrer que f-g est convexe, mais si on arrivait à le montrer alors g-f serait convexe aussi et donc f=g et la périodicité ne servirait à rien.

J'espère que vous pourrez m'aider plus encore.

Merci d'avance,

Posté par
Poncarguesre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 14:19

J'ai pas mené la solution 1 jusqu'au bout, mais la 2 fonctionne.
Et pour pour le 2 j'ai écrit g-f (et pas f-g) pour une raison.
Je sais prouver directement que g-f est convexe, par contre je ne sais pas le faire directement pour f-g (enfin autrement qu'en disant que g-f est convexe et periodique, donc nulle donc f-g est bien convexe).

Posté par
Poncarguesre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 14:21

Je pense que la 1 fonctionne également... mais j'ai un peu la flemme d'aller au bout (et comme j'arrive pas à la finir de tete!).

Posté par
Poncarguesre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 14:44

Poncargues @ 11-05-2019 à 14:19

J'ai pas mené la solution 1 jusqu'au bout, mais la 2 fonctionne.
Et pour pour le 2 j'ai écrit g-f (et pas f-g) pour une raison.
Je sais prouver directement que g-f est convexe, par contre je ne sais pas le faire directement pour f-g (enfin autrement qu'en disant que g-f est convexe et periodique, donc nulle donc f-g est bien convexe).

Ah, j'ai trouvé une autre façon de faire!
Tu peux prouver effectivement que f-g et g-f sont toutes deux convexes... sur un intervalle de longueur 1, mais ensuite il faut également user de la periodicité.
En fait cette méthode me semble la plus simple.

Posté par
ZiYunre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 15:13

Vous pouvez me donner des indications sur comment vous montrer que g-f est convexe ou f-g est convexe s'il vous plait ?

Merci d'avance,

Posté par
Poncarguesre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 15:29

Oui bien sur.
Prend f et g deux fonctions qui convexes qui vérifient la propriété.
Prend a et b tel que |a-b|<1.
On veut prouver que h=f-g est convexe.
Pose T(u)=g(a)+(u-a)log(a) pour u dans [a,b], T est évidement convexe.
Fixons nous un petit r>0

1)Montre que |g(x)-T(x)| est majoré par 1/(a-1).
2) Comme h est 1-périodique, montre qu'on peut se ramener au cas ou |g(x)-T(x)|<r
3)Déduis en que tg(a)+(1-t)g(b)-g(ta+(1-t)b) diffère de  tT(a)+(1-t)T(b)-T(ta+(1-t)b) de au plus 3r.
4)Déduis en que f-g est convexe sur ton intervalle ouvert de longueur 1.
5)Conclus.

Posté par
ZiYunre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 17:00

Je m'excuse de vous décevoir mais je bloque à la première... j'essaie d'utiliser le fait qu'une fonction convexe est au dessous de ses cordes pour majorer le g(x)-g(a) mais ca ne donne rien, et je ne sais pas exploiter le ln(a).

Posté par
Poncarguesre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 17:50

La 1) est la partie la plus délicate.
En effet cela utilise la croissance des pentes des cordes.
Si f est une fonction convexe, tu sais que les pentes des cordes sont croissantes ce qui implique que f est au dessous de ces cordes i.e f(x+t)\leq f(x)+t(f(x+1)-f(x)). Tu as également  f(x+t)\geq f(x)+t(f(x)-f(x-1)) (fais un dessin, ca n'est rien d'autre que f est au dessus de sa tangente dont la pente est plus grande que n'importe qu'elle corde "arrière").
En particulier tu obtiens en combinant les deux inégalités que
f(x)+t(f(x+1)-f(x))-f(x+t)\leq f(x)+t(f(x+1)-f(x))-(f(x)+t(f(x)-f(x-1)))=t(f(x+1)-f(x)-f(x)+f(x-1))

En appliquant ça à la fonction g, tu obtiens
g(a)-t(g(a+1)-g(a))-g(a+t)\leq t(g(a+1)-g(a)-g(a)-g(a-1))=t(\log(a)-\log(a-1))\leq \log(1+1/(a-1))\leq 1/(a-1)

Le terme de gauche valant lui
g(a)-t(g(a+1)-g(a))-g(a+t)=T(a+t)-g(a+t)
Ce qui te donne l'inégalité voulue.

Posté par
Poncarguesre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 17:53

Ceci implique comme t est plus petit que 1, que pour tout x dans [a;b]; tu as |g(x)-T(x)| majoré par 1/a-1.

La suite devrait etre plus facile.

Posté par
ZiYunre : Question sur l'unicité d'une fonction 11-05-19 à 19:23

Bonjour,

Je vous remercie beaucoup pour votre aide et vos réponses. Je bloque sur certains points. Je pense que pour la première inégalité ( \left|g(x)-T(x) \right|\leq \frac{1}{a-1} ) nécessite que a soit strictement supérieur à 1, car à un moment on avait ln(a-1) .
Pour le 2), je ne le comprends pas réellement. Je ne sais pas comment montrer qu'on peut se ramener à ce cas grâce à la périodicité de h, mais autre chose qui me tracasse c'est qu'on avait pris un r>0 quelconque, et on est demandé de montrer \left|g(x)-T(x) \right|\leq r donc c'est vrai pour tout r>0 et donc g(x)=T(x) pour tout x dans [a,b] et ceci est vrai pour tout a>1 et b>a donc g(x)=T(x) pour tout x>1 non ?
Pour la 3) je l'ai faite ( en ayant admis le 2 ).
Pour la 4) même souci qu'à la 2ème, je ne vois pas le lien entre f, T, et h.

J'espère que vous pourrez m'aider encore une fois.

Merci d'avance,

Posté par
Poncarguesre : Question sur l'unicité d'une fonction 12-05-19 à 12:13

ZiYun @ 11-05-2019 à 19:23

Bonjour,

Je vous remercie beaucoup pour votre aide et vos réponses. Je bloque sur certains points. Je pense que pour la première inégalité ( \left|g(x)-T(x) \right|\leq \frac{1}{a-1} ) nécessite que a soit strictement supérieur à 1, car à un moment on avait ln(a-1) .

En fait on va prendre a "assez grand" donc c'est pas vraiment un souci.

Avant que je réponde à tes questions ptetr je peux te donner au moins l'idée derrière ce qu'on fait.
On veut montrer que f-g est convexe, mais g est convexe, donc -g a peu de chances d'etre convexe sauf si g est affine.
En fait g est pas affine, mais elle est de "plus en plus affine" au fur et à mesure qu'on se deplace sur la droite de l'axe des abscisses.
On a montré dans la question 1, que |g(x)-T(x)|\leq 1/(a-1) pour 1+a>b>x>a, avec T(x) est affine.
Donc plus a est grand plus g est affine.

Pour h=f-g, on veut verifier qu'elle est convexe, comme est est 1-periodique on peut le verifer sur [1,2], ou [2,3], ou [n,n+1], ou n'importe quel intervalle de longueur 1, comme g est "de plus en plus affine", plus n va etre grand, plus f-g va etre convexe, et en passant à la limite, on aura f-g convexe.

C'est ce que détaillent mes questions.

On veut donc prouver que h(ta+(1-t)b) est majoré par th(a)+(1-t)h(b). Comme h(x)=h(x+1), on peut remplacer a et b par a+1 et b+1, ou meme a+n et b+n où n est s'importe quel entier positif.

On a h(ta+(1-t)b)=f(ta+(1-t)b)-g(ta+(1-t)b)\leq fh(a)+(1-t)f(b)-g(ta+(1-t)b)
Le premier terme est ce qu'on veut et on va maintenant comparer g(ta+(1-t)b) et tg(a)+(1-t)g(b) en gardant à l'esprit qu'on peut augmenter a et b de n si on le veut.

On se fixe donc r>0, et en augmentant a (et donc b), on peut supposer d'apres la question 1) |g(x)-T(x)|<r
Du coup on en est là
Citation :
Pour la 4) même souci qu'à la 2ème, je ne vois pas le lien entre f, T, et h.

On a prouvé que si l'on se fixe un r>0, on peut prendre a assez grand tel que
|g(ta+(1-t)b) -(tg(a)+(1-t)g(b))-T(ta+(1-t)b) -(tT(a)+(1-T)g(b))|\leq 3r
On en déduit que pour un tel a, on h(ta+(1-t)b)\leq th(a)+(1-t)h(b)+3r
Ceci étant vrai pour tout r>0, en faisant tendre r vers 0, on obtient h(ta+(1-t)b)\leq th(a)+(1-t)h(b).
Donc h est convexe sur un intervalle de longueur 1 et 1-périodique il ne devrait plus etre dur de terminer mnt.

Posté par
ZiYunre : Question sur l'unicité d'une fonction 13-05-19 à 13:05

Bonjour,

Je vous remercie pour votre aide. J'avoue que je reste ébahi devant cette démarche.
Pour conclure on évoque le fait qu'une fonction périodique et convexe est constante or h(1)=0 donc f=g .

Merci encore pour votre aide.


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