Bonjour balteo,

Outre la finance (et tout autre domaine qui utilise les maths appliquées), cette notation est quasi-omni-présente en math pures. Elle signifie tout simplement que l'objet en question est borné par une constante*la fonction dans le O. Donc si f=O(g) dans un certain voisinage, c'est que dans ce voisinage on a pour une certaine constante positive k. Dans l'application des maths, on rencontre ça en info théorique et ça a exactement le même genre d'interprétation qu'ici pour la volatilité. En gros ça veut dire que la volatilité (qui dépend donc de N) ne varie pas plus que la fonction (à une constante près). C'est simplement l'interprétation intuitive de la majoration qui définit la notation.

pour plus d'infos sur les notations de landau voir

Bonjour Balteo,

La notation de Landau n'est qu'une façon un peu plus ramassée d'écrire : où est une fonction définie autour de x=0 et tendant vers 0 quand x tend vers 0.

Je ne comprends pas vraiment le sens de ton premier exemple ; en revanche, le second plus classique devrait se terminer, sauf cas particulier, par plutôt que par .

En voyant la réponse de Foxdevil, je pense que c'est lui qui répond à ta question plutôt que moi ; je t'ai en effet répondu comme si tu parlais de la notation (petit omicron de g), habituellement utilisée dans les développements de Taylor et limités, alors que tu faisais allusion à (grand omicron de g, à ne pas confondre avec les autres notations , petit omega de g et , grand omega de g, ce qui est un peu troublant quand on pense aux sens de et en grec)

Merci à vous deux,

Je comprends bien ton explication, Foxdevil. Pierre_D, c'est bien delta t au carré qui apparait dans mon livre. Tu as raison d'attirer mon attention sur la différence entre ces notations.

Ceci m'amène à mon autre interrogation: comment, à partir d'un dev de Taylor par exemple détermine-t-on "la partie en O"? (pour une fonction inconnue ou non).

J.

Pierre_D ->

Tu dis que ça devrait o ( dt ) et non o ( dt² )

mais il a utilisé un GRAND O !

Bref,

Ce qu'on peut mettre dans le grand O ce sont toutes les expressions où c'est vrai.

Etre égal à un grand O, ça signifie en fait APPARTENIR à un ensemble de fonction.

Ya pas de problème de changer de fonctions dans le O tant que cela est JUSTE.

NEANMOINS : on préfère GENERALEMENT utiliser des expressions polynomiales (parfois exponentielles ou logarithmiques) pour bien "visualiser" les "variations"...

Voilà.


TYndra

La question de balteo est sensée. En gros tu cherches à comprendre comment, dans la pratique, on fait apparaître un grand O dans une expression (comme par exemple celle de Taylor)?

Bon pour l'exemple de Taylor, ça serait bien de préciser de quel Taylor tu pars. Mais un truc bon à savoir, c'est que quelque chose qui est un petit o est un grand O. En effet, être un petit o signifie être négligeable près de...si on est négligeable près de "...", on est forcément bornée par "..." à une constante près....Certains développement de Taylor ayant un petit o (se démontre en général par récurrence), on en déduit la forme avec un grand O presque instantanément. Bon....ça peut faire un peu traite de partir du petit o...donc si on suppose qu'on a à faire au Taylor intégrale, et ben tu peux borner le reste intégrale tout simplement en mettant des modules à l'intérieur de l'intégrale. Tu auras une majoration par une constante fois (x-a)^n+1 (si c'est Taylor en a à l'ordre n), ce qui signifie que le reste intégrale est un grand O( (x-a)^n+1 ) (car borné en module à une constante près par (x-a)^n+1).

Bon la technique générale s'en dégage assez facilement: on met l'objet qu'on veut mettre sous la forme grand O en module, on fait ses manip (ça tourne toujours autours d'inégalités triangulaires, modules dans l'intégrale et trucs de ce genre) et on obtient une majoration (valant dans un certain voisinage) par une fonction positive fois une constante (pour avoir la constante il suffit juste d'identifier quelque chose d'indépendant de la variable de la fonction). On ignore ainsi la constante (c'est en fait tout l'intérêt de la notation O), parce que l'objet qui est un grand O (qui peut très souvent être une fonction horrible) n'a aucune propriété intéressante (dans le cadre d'une étude évidemment subjective) autre que celle d'être majorée par autre chose qu'on connait bien et qu'on contrôle plus ou moin parfaitement. Pour reprendre ton exemple, la volatilité, ça a (à priori) une tête horrible et est une fonction difficilement explicitable voire irrégulière. Mais comme on peut la contrôler (par une puissance de N), on se fiche en fait bien d'elle (ou disons de sa tête). C'est l'idée qu'illustre ce propos de Mahow:

Merci à tous. Je vais digérer tout ça.
J.