Bonjour à tous
J'ai une question à propos du théorème de convergence monotone : le théorème dit que pour toute suite de fonction croissante positive mesurable la limite simple de la fonction est mesurable et on peut intervertir intégrale et limite. ( on se place évidemment sur un espace mesuré)
Ma question est : le théorème ne suppose pas que la suite de fonction admet une limite, comment on peut être sûr que sa limite existe?
Je vous remercie d'avance
Tu as (E,T) un espace mesurable et pour chaque n
une application fn de E vers
qui est T-B mesurable .
Si la suite n fn est croissante alors pour tout x , la suite n
fn(x) converge vers un élément de
{+
} .
Si on pose f(x) = Supn(f(x)) , l'ensemble [f = +] est un élément de la tribu T ainsi que f-1(A) pour tout A de la tribu B .
Si les fn sont 0 et m une mesure
sur (E,T) BL dit que la suite n
fndm converge vers
fdm (qui vaut +
si m([f = +
]) > 0 )
Bonsoir,
Le théorème de Beppo-Levi s'exprime comme suit dans sa formulation usuelle : Soit un espace mesuré et
une suite croissante de fonctions mesurables telle que
. Alors,
J'attire ton attention sur ce qui est en rouge dans les hypothèses du dit théorème !
Bonne nuit !
Cette dernière identité est vérifiée dans (l'on peut avoir
!!) et le théorème ne s'applique pas nécessairement si chaque
est à valeurs dans
, voire
...
Ah donc il faut supposé qu'elle converge vers une fonction f, car dans mon cours on suppose juste que les fn sont positives et croissante.
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