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Niveau Licence Maths 1e ann
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question sur le théoreme de Beppo levi ( convergence monotone)

Posté par
ryke999
15-12-14 à 19:00

Bonjour à tous

J'ai une question à propos du théorème de convergence monotone : le théorème dit que pour toute suite de fonction croissante positive mesurable la limite simple de la fonction est mesurable et on peut intervertir intégrale et limite. ( on se place évidemment sur un espace mesuré)

Ma question est : le théorème ne suppose pas que la suite de fonction admet une limite, comment on peut être sûr que sa limite existe?

Je vous remercie d'avance

Posté par
kybjm
re : question sur le théoreme de Beppo levi ( convergence monoto 15-12-14 à 19:21

Tu as (E,T) un espace mesurable et pour chaque n une application fn de E vers qui est T-B mesurable .

Si la suite n fn est croissante alors pour tout x , la suite n fn(x) converge vers un élément de {+} .
Si on pose f(x) = Supn(f(x)) , l'ensemble  [f = +] est un élément de la tribu T ainsi que f-1(A) pour tout A de la tribu B .

Si les fn sont 0 et m une mesure sur (E,T) BL dit que la suite n fndm converge vers fdm (qui vaut + si m([f = +]) > 0 )

Posté par
ryke999
re : question sur le théoreme de Beppo levi ( convergence monoto 15-12-14 à 19:52

je ne comprends pas...

Posté par
ryke999
re : question sur le théoreme de Beppo levi ( convergence monoto 15-12-14 à 21:26

Pouvez-vous être plus précis? svp

Posté par
ThierryPoma
re : question sur le théoreme de Beppo levi ( convergence monoto 15-12-14 à 21:44

Bonsoir,

Le théorème de Beppo-Levi s'exprime comme suit dans sa formulation usuelle : Soit (E,\,\mathcal{T}_E,\,\mu) un espace mesuré et (f_n:E\to[0,\,+\infty{\red]})_{n\geqslant 1} une suite croissante de fonctions mesurables telle que \lim\limits_{n\to\infty}f_n=f. Alors,

\lim\limits_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int\left(\lim\limits_{n\to\infty}f_n\right)\,d\mu=\int f\,d\mu

J'attire ton attention sur ce qui est en rouge dans les hypothèses du dit théorème !

Bonne nuit !

Posté par
ThierryPoma
re : question sur le théoreme de Beppo levi ( convergence monoto 15-12-14 à 21:47

Cette dernière identité est vérifiée dans [0,\,+\infty] (l'on peut avoir +\infty=+\infty !!) et le théorème ne s'applique pas nécessairement si chaque f_n est à valeurs dans \R^{+}, voire \R...

Posté par
ryke999
re : question sur le théoreme de Beppo levi ( convergence monoto 15-12-14 à 22:05

Ah donc il faut supposé qu'elle converge vers une fonction f, car dans mon cours on suppose juste que les fn sont positives et croissante.

Posté par
kybjm
re : question sur le théoreme de Beppo levi ( convergence monoto 16-12-14 à 00:15

NON , les fn ne sont  croissantes (d'ailleurs , si E était par exemple ² , ça n'aurait pas de sens " canonique " ).

C'est la suite n fn qui l'est et dans ce cas cette suite converge simplement vers  f : x Supn(f(x)).



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