Tu as (E,T) un espace mesurable et pour chaque n une application f_n de E vers qui est T-B mesurable .

Si la suite n f_n est croissante alors pour tout x , la suite n f_n(x) converge vers un élément de {+} .
Si on pose f(x) = Sup_n(f(x)) , l'ensemble  [f = +] est un élément de la tribu T ainsi que f^-1(A) pour tout A de la tribu B .

Si les f_n sont 0 et m une mesure sur (E,T) BL dit que la suite n f_ndm converge vers fdm (qui vaut + si m([f = +]) > 0 )

je ne comprends pas...

Pouvez-vous être plus précis? svp

Bonsoir,

Le théorème de Beppo-Levi s'exprime comme suit dans sa formulation usuelle : Soit un espace mesuré et une suite croissante de fonctions mesurables telle que . Alors,



J'attire ton attention sur ce qui est en rouge dans les hypothèses du dit théorème !

Bonne nuit !

Cette dernière identité est vérifiée dans (l'on peut avoir !!) et le théorème ne s'applique pas nécessairement si chaque est à valeurs dans , voire ...

Ah donc il faut supposé qu'elle converge vers une fonction f, car dans mon cours on suppose juste que les fn sont positives et croissante.

NON , les f_n ne sont  croissantes (d'ailleurs , si E était par exemple ² , ça n'aurait pas de sens " canonique " ).

C'est la suite n f_n qui l'est et dans ce cas cette suite converge simplement vers  f : x Sup_n(f(x)).