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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Question sur les barycentres

Posté par
Kernelpanic
06-03-19 à 19:01

Bonjour,

j'ai une question sur ces fameux barycentres... Nous avons pu voir que le barycentre ne dépend pas de l'origine du repère affine choisi. J'ai pu, lors d'une séance de TD, lire ceci :

"Soit V = R^n et a1, ... , ak de V. Montrer que les parties suivantes sont convexes :

C_1 = \{ \sum_{i=1}^{k}\lambda_ia_i ~ |~ \sum_i \lambda_i = 1, \lambda_1 \geq 0 \} (faire un dessin pour n=2, k=3)"

Le plus important est ce qu'il y a en rouge, en soit montrer que l'ensemble est convexe n'est pas compliqué. Voilà donc la preuve que ma professeur a écrit au tableau pour montrer que C1 pour n=2 et k=3 est un demi plan contenant a1.

C_1 = \{ \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \lambda_3a_3 ~ | ~ \sum_i\lambda_i = 1, \lambda_1 \geq 0 \}
C_1 = \{ \lambda_1a_1 + ( \lambda_2 + \lambda_3)\times d ~ | ~ \sum_i\lambda_i = 1, \lambda_1 \geq 0 \}~~~ d = \frac{\lambda_2a_2}{\lambda_2 + \lambda_3} + \frac{\lambda_3a_3}{\lambda_2 + \lambda_3}

Prenons d comme origine. Alors C_1 = \{ \lambda_1a_1 ~ | \lambda_1 \geq 0 \}
Donc C1 est une demi droite incluse dans un demi plan contenant a1. Cela me gène beaucoup de dire que la barycentre, si l'on considère d comme l'origine, est un scalaire fois lambda1 parce que lambda1 ne change pas de coordonnées...
J'ai fait quelques exemples sur géogebra avec l'isobarycentre d'un triangle (image ci-dessous). On voit bien que si je considère A comme origine et que je fais tout simplement 1/3 * B + 1/3 * C, on obtient le point E qui n'est pas l'isobarycentre. En revanche, si je considère les nouvelles coordonnées de B et C, alors cela fonctionne par la règle du parallélogramme (néanmoins dans mon cours on ne suppose pas que l'on change les coordonnées...). Je pense être embrouillé et n'avoir rien compris du tout. Auriez-vous quelques explications à me fournir s'il vous plait ?

Question sur les barycentres

Posté par
Kernelpanic
re : Question sur les barycentres 06-03-19 à 21:03

Bon je vais focaliser ma question. J'ai la démonstration du cours qui dit que peu importe l'origine du repère que l'on choisit, le barycentre de k points est le même. Pour faciliter les calculs, on peut choisir l'un des k points comme origine du repère. On a alors selon les notations de mon cours, pour deux points d'origine P et O quelconque : Bar(a_i,\lambda_i,P) = Bar(a_i,\lambda_i,O)
où les lambda sont les poids.

Comment se représenter ça visuellement ?
Merci.

Posté par
pgeod
re : Question sur les barycentres 06-03-19 à 21:08

Si l'on prend O comme origine, on trouve G en faisant 1/3 A + 1/3 B +  1/3 C
Si l'on prend A comme origine, on trouve G en faisant 1/3 (A-A) + 1/3 (B-A) + 1/3 (C - A)

Posté par
Kernelpanic
re : Question sur les barycentres 06-03-19 à 21:15

Je suis tout à fait d'accord avec votre réponse, les points varient donc, on leur soustrait l'origine. Mais ce qui prête à confusion c'est que dans mon exercice, on ne change pas le point a1 et on le laisse comme telle...

Posté par
pgeod
re : Question sur les barycentres 06-03-19 à 21:26

Les points ai en tant qu'objets ne changent pas,
leurs coordonnées si puisqu'elles dépendent du repère choisi.

Posté par
Kernelpanic
re : Question sur les barycentres 06-03-19 à 21:28

D'accord, merci infiniment pour cette clarification... C'est logique en soit dans un espace affine, j'aurais dû y penser. Les idées sont claires maintenant.
Bonne soirée.

Posté par
verdurin
re : Question sur les barycentres 06-03-19 à 22:05

Bonsoir,
il y a un problème : on peut très bien avoir \lambda_1=1, \lambda_2=-\lambda_3.
Dans ce cas le point d n'est pas défini.

Si a_2 et a_3 sont distincts l'ensemble

D= \{ \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \lambda_3a_3 ~ | ~ \sum_i\lambda_i = 1, \lambda_1 =1 \}
est la droite parallèle à la droite (a_2 a_3) passant par a_1.

Je me pose aussi des questions sur l'énoncé.
Si les seules conditions sont

\lambda_1\ge0 \text{ et } \lambda_1+ \lambda_2+\lambda_3=1

et que les points sont distincts
alors C_1=\R^2

Posté par
Kernelpanic
re : Question sur les barycentres 06-03-19 à 22:16

Bonsoir verdurin, l'exercice a été fait très rapidement en fin de séance... en effet, on peut diviser par 0 dans ce que nous avons rédigé. Si on suppose alors que \lambda_2 = - \lambda_3, alors nécessairement \lambda_1 = 1. Donc les éléments de C1 sont de la forme a_1 + \lambda_2\times(a_2-a_3) donc je comprends ce que vous dîtes. Toutefois pourquoi ce serait R^2 tout entier ?

Je demanderais à mon professeur de cours magistraux un peu plus d'explications, je n'ai jamais été très doué pour faire de la géométrie..

Posté par
Kernelpanic
re : Question sur les barycentres 06-03-19 à 22:21

Juste pour être sûr que ce n'est pas R^2, nous avons une limite. Si on prend 3 points quelconque, par exemple de telle sorte qu'ils forment un triangle, alors nous avons que la demi-droite passant par A et B et s'arrêtant nécessairement  à B est incluse dans cet ensemble : on ne peut pas dépasser B. Donc ce ne peut être R^2.

Posté par
verdurin
re : Question sur les barycentres 06-03-19 à 22:58

Si tu as trois points distincts (a_1,a_2,a_3) non alignés, ils forment un repère du plan affine \R^2.
Et il est facile de montrer que n'importe quel point du plan est de la forme

m=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3

avec \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\neq0

Il est bien connu que si m est barycentre de ( a_1, \lambda_1),( a_2, \lambda_2),( a_3, \lambda_3) alors, quelque soit k\neq 0, il est barycentre de ( a_1, k\lambda_1),( a_2, k\lambda_2),( a_3, k\lambda_3).

En choisissant bien la valeur de k on peut toujours avoir k\lambda_1\ge0 et \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1.

Et je me rends compte que j'ai dit une grosse bêtise.

Oublie ce que j'ai raconté : c'est faux.

Posté par
luzak
re : Question sur les barycentres 08-03-19 à 08:09

Bonjour !
Si \lambda_1=1,\;\lambda_2=-\lambda_3=t on aura :
m=a_1+t(a_2-a_3) donc \vec{a_1m}=t\vec{a_3a_2}.
C'est la droite passant par a_1 dirigée par \vec{a_3a_2}.

@verdurin

Citation :
Et il est facile de montrer que n'importe quel point du plan est de la forme
m=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3 avec \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\neq0

Si tu écris m= la somme des coefficients est obligatoirement 1.

Si tu veux écrire avec une somme s=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\neq0 il faut mettre sm=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3



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