Bonsoir à tous !

J'ai exactement le même soucis que master_och, et j'ai DS demain matin, alors si quelqu'un est motivé pour m'aider un petit peu, c'est pas de refus !

D'avance merci

Bonjour,

les démonstrations des formules selon les différents systèmes de coordonnées sont du calcul bourrin, très simple en théorie, mais fastidieux à développer.
Par exemple, pour les coordonnées cylindriques (r,t), on part de :
x = r.cos(t)
y = r. sin(t)
dx = cos(t).dr - r.sin(t).dt
dy = sin(t).dr + r.cos(t).dt
Par exemple, étant donné une fonction F(x,y)
dF = (dF/dx)dx + (dF/dy)dy
dF = (dF/dx)(cos(t).dr - r.sin(t).dt) +(dF/dy)(sin(t).dr + r.cos(t).dt)
dF = ((dF/dx)cos(t)+(dF/dy)sin(t))dr + (-(dF/dx)r.sin(t)+(dF/dy)r.cos(t))dt
et puisque dF = (dF/dr)dr + (dF/dt)dt , on trouve par identification :
dF/dr = (dF/dx)cos(t)+(dF/dy)sin(t)
dF/dt = -(dF/dx)r.sin(t)+(dF/dy)r.cos(t)
Puis on résout ce système de deux équations linéaires ayant deux inconnues : (dF/dx) et (dF/dy), ce qui donne les formules de (dF/dx) et (dF/dy) en fonction de (dF/dr) et (dF/dt).
Ce sont ces formules de (dF/dx) et (dF/dy) qui sont ensuite reportées dans le gradiant, le rotationnel, etc., d'abord écrit en coordonnées cartésiennes, pour trouver les formules correspondantes en coordonnées cylindriques.
Idem pour les dérivées secondes, lorsqu'on veut exprimer le laplacien par exemple.
C'est le même principe (développement, identification, simplification) pour toutes les expressions ou opérateurs, avec des calculs plus ou moins compliquées suivant les cas.